Система координат декарт: Прямоугольная система координат — Википедия – Декартова система координат: основные понятия и примеры

Содержание

Декартова система координат: основные понятия и примеры

Если вы находитесь в некоторой нулевой точке и размышляете над тем, сколько единиц расстояния
нужно пройти строго вперёд, а затем — строго вправо, чтобы оказаться в некоторой другой точке, то вы
уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой координат на плоскости. А если точка находится выше
плоскости, на которой вы стоите, и к вашим расчётам добавляется подъём к точке по лестнице строго вверх
также на определённое число единиц расстояния, то вы уже пользуетесь прямоугольной декартовой системой
координат в пространстве.

Упорядоченная система двух или трёх
пересекающихся перпендикулярных друг другу осей с общим началом отсчёта (началом координат) и общей единицей длины называется
прямоугольной декартовой системой координат.

С именем французского математика Рене Декарта
(1596-1662) связывают прежде всего такую систему координат, в которой на всех осях отсчитывается
общая единица длины и оси являются прямыми. Помимо прямоугольной существует общая декартова система координат (аффинная система координат). Она может включать и
не обязательно перпендикулярные оси. Если же оси перпендикулярны, то система координат является
прямоугольной.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости имеет
две оси, а прямоугольная декартова система координат в пространстве — три оси.
Каждая точка на плоскости или в пространстве определяется упорядоченным набором координат — чисел в
соответствии единице длины системы координат.

Заметим, что, как следует из определения, существует декартова система координат и
на прямой, то есть в одном измерении. Введение декартовых координат на прямой представляет собой один
из способов, с помощью которого любой точке прямой ставится в соответствие вполне определённое вещественное
число, то есть координата.

Метод координат, возникший в работах Рене Декарта, ознаменовал собой революционную
перестройку всей математики. Появилась возможность истолковывать алгебраические уравнения (или неравенства)
в виде геометрических образов (графиков) и, наоборот, искать решение геометрических задач с помощью
аналитических формул, систем уравнений. Так, неравенство z < 3
геометрически означает полупространство, лежащее ниже плоскости, параллельной координатной плоскости
xOy и находящейся выше этой плоскости на 3 единицы.

С помощью декартовой системы координат принадлежность точки заданной кривой
соответствует тому, что числа x и y удовлетворяют некоторому уравнению. Так, координаты
точки окружности с центром в заданной точке (ab)
удовлетворяют уравнению (x — a)² + (y — b)² = R².

Две перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой масштабной единицей
образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из этих
осей называется осью Ox, или осью абсцисс,
другую — осью Oy, или осью ординат.
Эти оси называются также координатными осями. Обозначим через Mx и
My соответственно проекции произвольной
точки М на оси Ox и
Oy. Как получить проекции? Проведём через точку М
прямую, перпендикулярную оси Ox. Эта прямая пересекает ось
Ox в точке Mx.
Проведём через точку М
прямую, перпендикулярную оси Oy. Эта прямая пересекает ось
Oy в точке My.
Это показано на рисунке ниже.

Точка в декартовой системе координат на плоскости

Декартовыми прямоугольными координатами x и
y точки М будем называть
соответственно величины направленных отрезков OMx
и OMy. Величины этих направленных
отрезков рассчитываются соответственно как x = x0 — 0 и
y = y0 — 0. Декартовы координаты x и
y точки М называются соответственно
её абсциссой и ординатой. Тот факт, что точка
М имеет координаты x и
y, обозначается так: M(xy).

Координатные оси разбивают плоскость на четыре квадранта, нумерация которых показана
на рисунке ниже. На нём же указана расстановка знаков координат точек в зависимости от их расположения
в том или ином квадранте.

Помимо декартовых прямоугольных координат на плоскости часто рассматривается также
полярная система координат. О способе перехода от одной системы координат к другой — в уроке
полярная система координат.

Деление плоскости на квадранты осями декартовой системы координат

Декартовы координаты в пространстве вводятся в полной аналогии с декартовыми
координатами на плоскости.

Три взаимно перпендикулярные оси в пространстве (координатные оси) с общим началом
O и одинаковой масштабной единицей образуют декартову
прямоугольную систему координат в пространстве
.

Одну из указанных осей называют осью Ox, или осью абсцисс,
другую — осью Oy, или осью ординат,
третью — осью Oz, или осью аппликат.
Пусть Mx, My
Mz — проекции произвольной точки
М пространства на оси Ox,
Oy и Oz соответственно.

Проведём через точку М
плоскость, перпендикулярную оси Ox. Эта плоскость пересекает ось
Ox в точке Mx.
Проведём через точку М
плоскость, перпендикулярную оси Oy. Эта плоскость пересекает ось
Oy в точке My.
Проведём через точку М
плоскость, перпендикулярную оси Oz. Эта плоскость пересекает ось
Oz в точке Mz.

Точка в декартовой системе координат в пространстве

Декартовыми прямоугольными координатами x,
y и z точки М
будем называть соответственно величины направленных отрезков OMx,
OMy и OMz.
Величины этих направленных отрезков рассчитываются соответственно как
x = x0 — 0,
y = y0 — 0 и
z = z0 — 0.

Декартовы координаты x,
y и z точки М называются соответственно
её абсциссой, ординатой и аппликатой.

Попарно взятые координатные оси располагаются в координатных плоскостях
xOy, yOz и zOx.

Пример 1. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(2; -3);

B(3; -1);

C(-5; 1).

Найти координаты проекций этих точек на ось абсцисс.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс
расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно
имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, и ординату (координату на оси Oy, которую
ось абсцисс пересекает в точке 0), равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось абсцисс:

Ax(2; 0);

Bx(3; 0);

Cx(-5; 0).

Пример 2. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-3; 2);

B(-5; 1);

C(3; -2).

Найти координаты проекций этих точек на ось ординат.

Решение. Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось ординат
расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно
имеет ординату, равную ординате самой точки, и абсциссу (координату на оси Ox,
которую ось ординат пересекает в точке 0),
равную нулю. Итак получаем следующие координаты данных точек на ось ординат:

Ay(0; 2);

By(0; 1);

Cy(0; -2).

Пример 3. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(2; 3);

B(-3; 2);

C(-1; -1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Ox
направленный отрезок, идущий от оси Ox до данной точки. На рисунке,
где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Ox, будет иметь
такую же абсциссу, что и данная точка, и ординату, равную по абсолютной величине ординате данной точки,
и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Ox:

A’(2; -3);

B’(-3; -2);

C’(-1; 1).

Пример 4. Определить, в каких квадрантах (четвертях, рисунок с
квадрантами — в конце параграфа «Прямоугольная декартова система координат на плоскости») может быть
расположена точка M(xy), если

1) xy > 0;

2) xy < 0;

3) x − y = 0;

4) x + y = 0;

5) x + y > 0;

6) x + y < 0;

7) x − y > 0;

8) x − y < 0.

Правильное решение и ответ.

Пример 5. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-2; 5);

B(3; -5);

C(ab).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Правильное решение и ответ.

Пример 6. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(-1; 2);

B(3; -1);

C(-2; -2).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг оси Oy
направленный отрезок, идущий от оси Oy до данной точки. На рисунке,
где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка, симметричная данной относительно оси Oy, будет иметь
такую же ординату, что и данная точка, и абсциссу, равную по абсолютной величине абсциссе данной точки,
и противоположную ей по знаку. Итак получаем следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно оси Oy:

A’(1; 2);

B’(-3; -1);

C’(2; -2).

Пример 7. В декартовой системе координат на плоскости даны точки

A(3; 3);

B(2; -4);

C(-2; 1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат.

Решение. Поворачиваем на 180 градусов вокруг начала координат направленный отрезок, идущий от
начала координат к данной точке. На рисунке, где обозначены квадранты плоскости, видим, что точка,
симметричная данной относительно начала координат, будет иметь абсциссу и ординату, равные по
абсолютной величине абсциссе и ординате данной точки, но противоположные им по знаку. Итак получаем
следующие координаты точек, симметричных этим точкам относительно начала координат:

A’(-3; -3);

B’(-2; 4);

C(2; -1).

Пример 8. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A(4; 3; 5);

B(-3; 2; 1);

C(2; -3; 0).

Найти координаты проекций этих точек:

1) на плоскость Oxy;

2) на плоскость Oxz;

3) на плоскость Oyz;

4) на ось абсцисс;

5) на ось ординат;

6) на ось апликат.

Решение.

1) Проекция точки на плоскость Oxy расположена
на самой этой плоскости, а следовательно
имеет абсциссу и ординату, равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную нулю. Итак
получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxy:

Axy(4; 3; 0);

Bxy(-3; 2; 0);

Cxy(2; -3; 0).

2) Проекция точки на плоскость Oxz расположена
на самой этой плоскости, а следовательно
имеет абсциссу и апликату, равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную нулю. Итак
получаем следующие координаты проекций данных точек на Oxz:

Axz(4; 0; 5);

Bxz(-3; 0; 1);

Cxz(2; 0; 0).

3) Проекция точки на плоскость Oyz расположена
на самой этой плоскости, а следовательно
имеет ординату и апликату, равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную нулю. Итак
получаем следующие координаты проекций данных точек на Oyz:

Ayz(0; 3; 5);

Byz(0; 2; 1);

Cyz(0; -3; 0).

4) Как следует из теоретической части этого урока, проекция точки на ось абсцисс
расположена на самой оси абсцисс, то есть оси Ox, а следовательно
имеет абсциссу, равную абсциссе самой точки, а ордината и апликата проекции равны нулю (поскольку
оси ординат и апликат пересекают ось абсцисс в точке 0). Получаем
следующие координаты проекций данных точек на ось абсцисс:

Ax(4; 0; 0);

Bx(-3; 0; 0);

Cx(2; 0; 0).

5) Проекция точки на ось ординат
расположена на самой оси ординат, то есть оси Oy, а следовательно
имеет ординату, равную ординате самой точки, а абсцисса и апликата проекции равны нулю (поскольку
оси абсцисс и апликат пересекают ось ординат в точке 0). Получаем
следующие координаты проекций данных точек на ось ординат:

Ay(0; 3; 0);

By(0; 2; 0);

Cy(0; -3; 0).

6) Проекция точки на ось апликат
расположена на самой оси апликат, то есть оси Oz, а следовательно
имеет апликату, равную апликате самой точки, а абсцисса и ордината проекции равны нулю (поскольку
оси абсцисс и ординат пересекают ось апликат в точке 0). Получаем
следующие координаты проекций данных точек на ось апликат:

Az(0; 0; 5);

Bz(0; 0; 1);

Cz(0; 0; 0).

Пример 9. В декартовой системе координат в пространстве даны точки

A(2; 3; 1);

B(5; -3; 2);

C(-3; 2; -1).

Найти координаты точек, симметричных этим точкам относительно:

1) плоскости Oxy;

2) плоскости Oxz;

3) плоскости Oyz;

4) оси абсцисс;

5) оси ординат;

6) оси апликат;

7) начала координат.

Решение.

1) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oxy
на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная
данной относительно оси Oxy, будет иметь абсциссу и ординату,
равные абсциссе и ординате данной точки, и апликату, равную по величине апликате данной точки, но
противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
плоскости Oxy:

A’(2; 3; -1);

B’(5; -3; -2);

C’(-3; 2; 1).

2) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oxz
на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная
данной относительно оси Oxz, будет иметь абсциссу и апликату,
равные абсциссе и апликате данной точки, и ординату, равную по величине ординате данной точки, но
противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
плоскости Oxz:

A’(2; -3; 1);

B’(5; 3; 2);

C’(-3; -2; -1).

3) «Продвигаем» точку по другую сторону оси Oyz
на то же расстояние. По рисунку, отображающему координатное пространство, видим, что точка, симметричная
данной относительно оси Oyz, будет иметь ординату и апликату,
равные ординате и апликате данной точки, и абсциссу, равную по величине абсциссе данной точки, но
противоположную ей по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
плоскости Oyz:

A’(-2; 3; 1);

B’(-5; -3; 2);

C’(3; 2; -1).

По аналогии с симметричными точками на плоскости и точками пространства, симметричными
данным относительно плоскостей, замечаем, что в случае симметрии относительно некоторой оси декартовой
системы координат в пространстве, координата на оси, относительно которой задана симметрия, сохранит
свой знак, а координаты на двух других осях будут теми же по абсолютной величине, что и координаты
данной точки, но противоположными по знаку.

4) Свой знак сохранит абсцисса, а ордината и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
оси абсцисс:

A’(2; -3; -1);

B’(5; 3; -2);

C’(-3; -2; 1).

5) Свой знак сохранит ордината, а абсцисса и апликата поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
оси ординат:

A’(-2; 3; -1);

B’(-5; -3; -2);

C’(3; 2; 1).

6) Свой знак сохранит апликата, а абсцисса и ордината поменяют знаки. Итак, получаем следующие координаты точек, симметричных данным относительно
оси апликат:

A’(-2; -3; 1);

B’(-5; 3; 2);

C’(3; -2; -1).

7) По аналогии с симметрии в случае с точками на плоскости, в случае симметрии относительно
начала координат все координаты точки, симметричной данной, будут равными по абсолютной величине
координатам данной точки, но противоположными им по знаку. Итак, получаем следующие координаты точек,
симметричных данным относительно начала координат:

A’(-2; -3; -1);

B’(-5; 3; -2);

C’(3; -2; 1).

Точка в декартовой системе координат в пространстве

Поделиться с друзьями

Весь блок «Аналитическая геометрия»

  • Векторы
  • Плоскость
  • Прямая на плоскости

Декартова система координат — это… Что такое Декартова система координат?

Прямоугольная, или декартова система координат — наиболее распространённая система координат на плоскости и в пространстве.

Прямоугольная система координат на плоскости

Прямоугольная система координат на плоскости образуется двумя взаимно перпендикулярными осями координат X’X и Y’Y. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление.Положительное направление осей (в правосторонней системе координат) выбирают так, чтобы при повороте оси X’X против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси Y’Y. Четыре угла (I, II, III, IV), образованные осями координат X’X и Y’Y, называются координатными углами (см. Рис. 1).

Рис. 1

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения. Отрезки OB и OC определяются линиями, проведёнными из точки A параллельно осям Y’Y и X’X соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A. Записывают так: A(x, y).

Если точка A лежит в координатном угле I, то точка A имеет положительные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле II, то точка A имеет отрицательную абсциссу и положительную ординату. Если точка A лежит в координатном угле III, то точка A имеет отрицательные абсциссу и ординату. Если точка A лежит в координатном угле IV, то точка A имеет положительную абсциссу и отрицательную ординату.

Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат OX, OY и OZ. Оси координат пересекаются в точке O, которая называется началом координат, на каждой оси выбрано положительное направление, указанное стрелками, и единица измерения отрезков на осях. Единицы измерения одинаковы для всех осей. OX — ось абсцисс, OY — ось ординат, OZ — ось апликат. Положительное направление осей выбирают так, чтобы при повороте оси OX против часовой стрелки на 90° её положительное направление совпало с положительным направлением оси OY, если этот поворот наблюдать со стороны положительного направления оси OZ. Такая система координат называется правой. Если большой палец правой руки принять за направление X, указательный за направление Y, а средний за направление Z, то образуется правая система координат. Аналогичными пальцами левой руки образуется левая система координат. Правую и левую системы координат невозможно совместить так, чтобы совпали соответствующие оси (см. Рис. 2).

Рис. 2


Положение точки A в пространстве определяется тремя координатами x, y и z. Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC, координата z — длине отрезка OD в выбранных единицах измерения. Отрезки OB, OC и OD определяются плоскостями, проведёнными из точки A параллельно плоскостям YOZ, XOZ и XOY соответственно. Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A, координата z — аппликатой точки A. Записывают так: A(a, b, c).

Орты

Прямоугольная система координат (любой размерности) также описывается набором ортов, сонаправленных с осями координат. Количество ортов равно размерности системы координат и все они перпендикулярны друг другу.

В трёхмерном случае такие орты обычно обозначаются i j k или exeyez . При этом в случае правой системы координат действительны следующие формулы с векторным произведением векторов:

  • [i j]=k ;
  • [j k]=i ;
  • [k i]=j .

История

Впервые прямоугольную систему координат ввел Рене Декарт в своей работе «Рассуждение о методе» в 1637 году. Поэтому прямоугольную систему координат называют также — Декартова система координат. Координатный метод описания геометрических объектов положил начало аналитической геометрии. Вклад в развитие координатного метода внес также Пьер Ферма, однако его работы были впервые опубликованы уже после его смерти. Декарт и Ферма применяли координатный метод только на плоскости.

Координатный метод для трёхмерного пространства впервые применил Леонард Эйлер уже в XVIII веке.

См. также

Ссылки

Wikimedia Foundation.
2010.

ДЕКАРТОВА СИСТЕМА КООРДИНАТ • Большая российская энциклопедия

ДЕКА́РТОВА СИСТЕ́МА КООРДИНА́Т, пря­мо­ли­ней­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат на плос­ко­сти или в про­стран­ст­ве, в ко­то­рой по­ло­же­ние точ­ки мо­жет быть оп­ре­де­ле­но как её про­ек­ции на фик­си­ро­ван­ные пря­мые, пе­ре­се­каю­щие­ся в од­ной точ­ке, на­зы­вае­мой на­ча­лом ко­ор­ди­нат. Эти про­ек­ции на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки, а пря­мые – ося­ми ко­ор­ди­нат.

Рис. 1.

В об­щем слу­чае на плос­ко­сти Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) за­да­ёт­ся точ­кой $O$ (на­ча­лом ко­ор­ди­нат) и упо­ря­до­чен­ной па­рой при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих на од­ной пря­мой век­то­ров $e_1$ и $e_2$ (ба­зис­ных век­то­ров). Пря­мые, про­хо­дя­щие че­рез на­ча­ло ко­ор­ди­нат в на­прав­ле­нии ба­зис­ных век­то­ров, на­зы­ва­ют ося­ми ко­ор­ди­нат дан­ной Д. с. к. Пер­вая, оп­ре­де­ляе­мая век­то­ром $e_1$, на­зы­ва­ет­ся осью абс­цисс (или осью $Ox$), вто­рая – осью ор­ди­нат (или осью $Oy$). Са­ма Д. с. к. обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2$ или $Oxy$. Де­кар­то­вы­ми ко­ор­ди­на­та­ми точ­ки $M$ (рис. 1) в Д. с. к. $Oe_1e_2$ на­зы­ва­ет­ся упо­ря­до­чен­ная па­ра чи­сел ($x$, $y$), ко­то­рые яв­ля­ют­ся ко­эф­фи­ци­ен­та­ми раз­ло­же­ния век­то­ра $\overrightarrow {OM}$ по ба­зи­су $\{e_1,e_2\}$, т. е. $x$ и $y$ та­ко­вы, что $\overrightarrow{OM}=xe_1+ye_2$. Чис­ло $x$, $- \infty \lt x \lt \infty$, на­зы­ва­ет­ся абс­цис­сой, чис­ло $y$, $- \infty \lt y \lt \infty$, – ор­ди­на­той точ­ки $M$. Ес­ли ($x$, $y$) – ко­ор­ди­на­ты точ­ки $M$, то пи­шут $M$($x$, $y$).

Ес­ли на плос­ко­сти вве­де­ны две Д. с. к. $Oe_1e_2$ и $O’e’_1e’_2$ так, что век­то­ры ба­зи­са $\{e’_1,e’_2\}$ вы­ра­же­ны че­рез век­то­ры ба­зи­са $\{e_1,e_2\}$ фор­му­ла­ми $$e’_1=a_{11}e_1+a_{12}e_2,\quad e’_2=a_{21}e_1+a_{22}e_2$$ и точ­ка $O’$ име­ет в Д. с. к. $Oe_1e_2$ ко­ор­дина­ты $(x_0,y_0)$, то ко­ор­ди­на­ты $(x,y)$ точ­ки $M$ в Д. с. к. $Oe_1e_2$ и ко­ор­ди­на­ты $(x’,y’)$ той же точ­ки в Д. с. к. $O’e’_1e’_2$ свя­за­ны со­от­но­ше­ния­ми $$x=a_{11}x’+a_{21}y’+x_0,\quad y=a_{12}x’+a_{22}y’+y_0.$$

Д. с. к. на­зы­ва­ют пря­мо­уголь­ной, ес­ли ба­зис $\{e_1,e_2\}$ ор­то­нор­ми­ро­ван­ный, т. е. век­то­ры $e_1$ и $e_2$ вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны и име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це (век­то­ры $e_1$ и $e_2$ на­зы­ва­ют в этом слу­чае ор­та­ми). В пря­мо­уголь­ной Д. с. к. ко­ор­ди­на­ты $x$ и $y$ точ­ки $M$ суть ве­ли­чи­ны ор­то­го­наль­ных про­ек­ций точ­ки $M$ на оси $Ox$ и $Oy$ со­от­вет­ст­вен­но. В пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ рас­стоя­ние ме­ж­ду точ­ка­ми $M_1(x_1,y_1)$ и $M_2(x_2,y_2)$ рав­но $\sqrt {(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.$.

Фор­му­лы пе­ре­хо­да от од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $Oxy$ к дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. $O’x’y’$, на­ча­ло ко­то­рой $O’$ Д. с. к. $Oxy$ есть $O'(x_0,y_0)$, име­ют вид $$x=x’\cos \alpha-y’\sin \alpha+x_0,\quad y=x’\sin \alpha+y’\cos \alpha+y_0$$ или $$x=x’\cos \alpha+y’\sin \alpha+x_0,\quad y=x’\sin \alpha-y’\cos \alpha+y_0.$$

Рис. 2.

В пер­вом слу­чае сис­те­ма $O’x’y’$об­ра­зу­ет­ся по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$ и по­сле­дую­щим пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O’$ (рис. 2), а во вто­ром слу­чае – по­во­ро­том ба­зис­ных век­то­ров $e_1$, $e_2$ на угол $\alpha$, по­сле­дую­щим от­ра­же­ни­ем оси, со­дер­жа­щей век­тор $e_2$ от­но­си­тель­но пря­мой, не­су­щей век­тор $e_1$, и пе­ре­но­сом на­ча­ла ко­ор­ди­нат $O$ в точ­ку $O’$ (рис. 3).

Рис. 3.

Ино­гда ис­поль­зу­ют­ся ко­со­уголь­ные Д. с. к., от­ли­чаю­щие­ся от пря­мо­уголь­ной тем, что угол ме­ж­ду еди­нич­ны­ми ба­зис­ны­ми век­то­ра­ми не яв­ля­ет­ся пря­мым.

Рис. 4.

Ана­ло­гич­но оп­ре­де­ля­ет­ся об­щая Д. с. к. (аф­фин­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат) в про­стран­ст­ве: за­да­ёт­ся точ­ка $O$ – на­ча­ло ко­ор­ди­нат и упо­ря­до­чен­ная трой­ка при­ло­жен­ных к ней не ле­жа­щих в од­ной плос­ко­сти век­то­ров $e_1$, $e_2$, $e_3$ (ба­зис­ных век­то­ров). Как и в слу­чае плос­ко­сти, оп­ре­де­ля­ют­ся оси ко­ор­ди­нат – ось абс­цисс (ось $Ox$), ось ор­ди­нат (ось $Oy$) и ось ап­пли­кат (ось $Oz$) (рис. 4). Д. с. к. в про­стран­ст­ве обо­зна­ча­ет­ся $Oe_1e_2e_3$ (или $Oxyz$). Плос­ко­сти, про­хо­дя­щие че­рез па­ры осей ко­ор­ди­нат, на­зы­ва­ют­ся ко­ор­ди­нат­ны­ми плос­ко­стя­ми. Д. с. к. в про­стран­ст­ве на­зы­ва­ет­ся пра­вой, ес­ли по­во­рот от оси $Ox$ к оси $Oy$ со­вер­ша­ет­ся в на­прав­ле­нии, про­ти­во­по­лож­ном дви­же­нию ча­со­вой стрел­ки, ес­ли смот­реть на плос­кость $Oxy$ из к.-н. точ­ки по­ло­жи­тель­ной по­лу­оси $Oz$, в про­ти­во­по­лож­ном слу­чае Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся ле­вой. Ес­ли ба­зис­ные век­то­ры $e_1$, $e_2$, $e_3$ име­ют дли­ны, рав­ные еди­ни­це, и по­пар­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, то Д. с. к. на­зы­ва­ет­ся пря­мо­уголь­ной. По­ло­же­ние од­ной пря­мо­уголь­ной Д. с. к. в про­стран­ст­ве от­но­ситель­но дру­гой пря­мо­уголь­ной Д. с. к. с той же ори­ен­та­ци­ей оп­ре­де­ля­ет­ся тре­мя эй­ле­ро­вы­ми уг­ла­ми.

Д. с. к. на­зва­на по име­ни Р. Де­кар­та, хо­тя в его соч. «Гео­мет­рия» (1637) рас­смат­ри­ва­лась ко­со­уголь­ная сис­те­ма ко­ор­ди­нат, в ко­то­рой ко­ор­ди­на­ты то­чек мог­ли быть толь­ко по­ло­жи­тель­ны­ми. В из­да­нии 1659–61 к «Гео­мет­рии» при­ло­же­на ра­бо­та голл. ма­те­ма­ти­ка И. Гуд­де, в ко­то­рой впер­вые до­пус­ка­ют­ся как по­ло­жи­тель­ные, так и от­ри­ца­тель­ные зна­че­ния ко­ор­ди­нат. Про­стран­ст­вен­ную Д. с. к. ввёл франц. ма­те­ма­тик Ф. Ла­ир (1679). В нач. 18 в. ус­та­но­ви­лись обо­зна­че­ния $x$, $y$, $z$ для де­кар­то­вых ко­ор­ди­нат.

Декартова система координат — Вікіпедія

Демонстрація декартових координат на площині. Чотири точки відмічено й задано їх відповідними координатами: (2, 3) зеленим, (−3, 1) червоним, (−1.5, −2.5) синім, і початок координат (0, 0) — фіолетовим.
Коло із радіусом 2 із центром в початку координат в декартовій системі координат. Рівнянням кола є (xa)2 + (yb)2 = r2 де a і b є координатами центра (a, b), а r є радіусом кола.

Дека́ртова систе́ма координа́т (або прямоку́тна систе́ма координа́т, англ. Cartesian coordinate system) — система координат, яка дозволяє однозначним чином визначити кожну точку на площині за допомогою пари числових координа́т, які задають знакові відстані до точки відносно двох визначених перпендикулярно спрямованих прямих, що задано в однакових одиницях довжини. Кожна така пряма, від якої відкладається відстань, називається віссю координат (англ. coordinate axis) або просто віссю системи, а точка, де вони перетинаються, називається початком координат, що має впорядковану пару координат (0, 0). Координати також можна визначати як положення ортогональних проекцій точки на ці дві осі, що задаються як знакові відстані від початку координат.

Декартову систему координат вперше запропонував відомий французький математик Рене Декарт близько 1637 року в праці «Геометрія», одному з додатків до видатного філософського твору «Міркування про метод».

Аналогічний принцип можливо застосовувати для визначення положення будь-якої точки у три-вимірному просторі[en] за допомогою трьох впорядкованих декартових координат: знакових відстаней від неї до трьох взаємно перпендикулярних площин (або, так само, за допомогою її ортогональних проекцій на три взаємно перпендикулярні прямі). В загальному випадку, n декартових координат (елемент дійсного n-вимірного простору[en]) задають точку в n-вимірному евклідовому просторі будь-якої розмірності n. Ці координати дорівнюють, з точністю до знаку, відстаням від точки до n взаємно перпендикулярних гіперплощин.

Використовуючи декартову систему координат, геометричні фігури (а також криві) можливо описувати за допомогою алгебричних рівнянь, які містять координати точок, що належать фігурі. Наприклад, коло з радіусом 2, із центром у початку координат, можливо задати як множину всіх точок, координати x та y яких задовольняють рівнянню x2 + y2 = 4.

Декартова система координат є основою аналітичної геометрії, а також надає інструмент для розуміння геометричних інтерпретацій для багатьох інших галузей математики, таких як лінійна алгебра, комплексний аналіз, диференціальна геометрія, числення багатьох змінних, теорія груп та інші. Знайомим усім прикладом є поняття графіка функції. Декартова система координат є також важливим інструментом для багатьох прикладних дисциплін, які мають справу із геометрією, зокрема для астрономії, фізики, інженерії та багатьох інших. Вона також є найчастіше вживаною системою координат у комп’ютерній графіці, системах автоматизованого проектування та розрахунку та інших засобах з обчислювальної геометрії.

Двовимірна система координат[ред. | ред. код]

Точка P має координати (3,5).

Сучасна декартова система координат в двох вимірах (також знана під назвою прямокутна система координат) задається двома осями, розташованими під прямим кутом одна до одної. Площину, в якій знаходяться осі, називають іноді xy-площиною. Горизонтальну вісь позначають через x (вісь абсцис), вертикальну — через y (вісь ординат).
В тривимірному просторі до цих двох додається третя вісь, перпендикулярна xy-площині — вісь z (аплікат).
Всі точки в системі декартових координат, складають так званий декартів простір.

Точка перетину, де осі перетинаються, називається початком координат та позначається як O.
Відповідно, вісь x може бути позначена як Ox, а вісь y — як Oy.
Прямі, проведені паралельно до кожної осі на відстані одиничного відрізку (одиниці вимірювання довжини) починаючи з початку координат, формують координатну сітку.

Точка в двовимірній системі координат задається двома числами, які визначають відстань від осі Oy (абсциса або х-координата) та від осі Ох (ордината або y-координата) відповідно. Таким чином, координати формують впорядковану пару (кортеж) чисел (x, y).
В тривимірному просторі додається ще z-координата (відстань точки від ху-площини), та формується впорядкована трійка координат (x, y, z).

Вибір букв x, y, z походить від загального правила найменування невідомих величин другою половиною латинського алфавіту. Букви першої його половини використовуються для іменування відомих величин.

Стрілки на осях відображають те, що вони простягаються до нескінечності в цьому напрямі.

Перетин двох осей створює чотири квадранти на координатній площині, які позначаються римськими цифрами I, II, III, та IV. Зазвичай порядок нумерації квадрантів — проти годинникової стрілки, починаючи з правого верхнього (тобто там, де абсциси та ординаті — додатні числа). Значення, яких набувають абсциси та ординати в кожному квадранті, можна звести в наступну таблицю:

Квадрант x y
I > 0 > 0
II < 0 > 0
III < 0 < 0
IV > 0 < 0

Тривимірна та n-вимірна система координат[ред. | ред. код]

На цьому малюнку точка P має координати (3,0,5), а точка Q — координати (-5,-5,7)

Координати в тривимірному просторі формують трійку (x, y, z).

Координати x, y, z для тривимірної декартової системи можна розуміти як відстані від точки до відповідних площин: yz, xz, та xy.

Тривимірна декартова система координат є дуже популярною, тому що відповідає звичним уявам про просторові виміри — висоту, ширину та довжину (тобто три виміри). Але залежно від галузі застосування та особливостей математичного апарату, сенс цих трьох осей може бути зовсім іншим.

Системи координат вищих розмірностей також застосовуються (наприклад, 4-вимірна система для зображення простору-часу в спеціальній теорії відносності).

Система декартових координат у абстрактному n-вимірному просторі є узагальненням викладених вище положень та має n осей (по кожній на вимір), що є взаємоперпендикулярні. Відповідно, положення точки в такому просторі буде визначатися кортежем з n координат, або n-кою.

Ліва орієнтація — зліва, права орієнтація — справа.

У тривимірних декартових координатах є неоднозначність: як тільки напрями осей x та у обрано, вісь z може бути направлена як в одну сторону від xy-площини, так і в іншу. Це потребує спеціального визначення поняття орієнтації системи координат. Для тривимірної системи ці дві можливості орієнтації осей прийнято називати «лівою» та «правою». Системи координат при цьому називають «лівою» та «правою» відповідно. Вони зображені на наступному малюнку. Права система координат характеризується тим, що з додатного напряму відповідних осей повороти від осей х до у, у до z, z до х відбуваються проти руху годинникової стрілки.

Загальноприйнятою вважається «права» орієнтація, хоча ліва теж застосовується.

Формули в декартовій системі на площині[ред. | ред. код]

Відстань між двома точками[ред. | ред. код]

Евклідовою відстанню між двома точками на площині, що мають декартові координати (x1,y1){\displaystyle (x_{1},y_{1})} та (x2,y2){\displaystyle (x_{2},y_{2})}, є

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2.{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.}

Це є версією теореми Піфагора у декартовій системі координат. У тривимірному просторі відстанню між точками (x1,y1,z1){\displaystyle (x_{1},y_{1},z_{1})} та (x2,y2,z2){\displaystyle (x_{2},y_{2},z_{2})} є

d=(x2−x1)2+(y2−y1)2+(z2−z1)2,{\displaystyle d={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}},}

це рівняння можна отримати, якщо двічі послідовно застосувати теорему Піфагора.[1]

Евклідові перетворення[ред. | ред. код]

Евклідові перетворення[en] це (бієктивні) відображення точок евклідового простору в самих себе зі збереженням відстаней між точками. Існує чотири типи таких відображень (які також називають ізометрією): паралельне перенесення, обертання, відбиття і ковзна симетрія.[2]

Перенесення[ред. | ред. код]

Паралельне перенесення множини точок на площині, що зберігає відстані й напрямки між ними, є аналогічним додаванню пари сталих чисел (a, b) до декартових координат кожної точки множини. Таким чином, якщо початковими координатами точки є (x, y), після перенесення вони будуть наступними:

(x′,y′)=(x+a,y+b).{\displaystyle (x’,y’)=(x+a,y+b).}
Обертання[ред. | ред. код]

Для того, щоб обернути фігуру проти годинникової стрілки довкола початку координат на деякий кут θ{\displaystyle \theta }, необхідно замінити кожну точку фігури із координатами (x,y) відповідною точкою із координатами (x’,y’), де

x′=xcos⁡θ−ysin⁡θ{\displaystyle x’=x\cos \theta -y\sin \theta }
y′=xsin⁡θ+ycos⁡θ.{\displaystyle y’=x\sin \theta +y\cos \theta .}

Таким чином,

(x′,y′)=((xcos⁡θ−ysin⁡θ),(xsin⁡θ+ycos⁡θ)).{\displaystyle (x’,y’)=((x\cos \theta -y\sin \theta \,),(x\sin \theta +y\cos \theta \,)).}

Відбиття[ред. | ред. код]

Якщо (x, y) є декартовими координатами точки, тоді (−x, y) є координатами її відбиття відносно другої осі координат (осі y), так ніби вона є дзеркалом. Аналогічно, (x, −y) є координатами відбиття точки відносно першої осі координат (осі x). У загальнішому випадку, відбиття відносно прямої лінії, що проходить через початок координат під кутом θ{\displaystyle \theta } до осі x, рівнозначне заміні кожної точки із координатами (x, y) відповідними точками із координатами (x′,y′), де

x′=xcos⁡2θ+ysin⁡2θ{\displaystyle x’=x\cos 2\theta +y\sin 2\theta }
y′=xsin⁡2θ−ycos⁡2θ.{\displaystyle y’=x\sin 2\theta -y\cos 2\theta .}

Таким чином,

(x′,y′)=((xcos⁡2θ+ysin⁡2θ),(xsin⁡2θ−ycos⁡2θ)).{\displaystyle (x’,y’)=((x\cos 2\theta +y\sin 2\theta \,),(x\sin 2\theta -y\cos 2\theta \,)).}

Ковзна симетрія[ред. | ред. код]

Ковзна симетрія є поєднанням відбиття відносно прямої лінії із наступним перенесенням в напрямку тієї лінії. Легко побачити, що порядок цих операцій не має значення (перенесення може бути першим, а за ним слідуватиме відбиття).

Загальний матричний вигляд перетворень[ред. | ред. код]

Ці всі евклідові перетворення на площині може бути описано однорідним способом за допомогою матриць. Результат (x′,y′){\displaystyle (x’,y’)} застосування евклідового перетворення до точки (x,y){\displaystyle (x,y)} можливо задати наступною формулою

(x′,y′)=(x,y)A+b{\displaystyle (x’,y’)=(x,y)A+b}

де A є ортогональною матрицею 2×2, а b = (b1, b2) є довільною впорядкованою парою чисел,[3] таких що,

x′=xA11+yA21+b1{\displaystyle x’=xA_{11}+yA_{21}+b_{1}}
y′=xA12+yA22+b2,{\displaystyle y’=xA_{12}+yA_{22}+b_{2},}

де

A=(A11A12A21A22).{\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}.} [Зверніть увагу, що вектор координат є рядком, а матриця записується праворуч.]

Аби матриця A вважалася ортогональною, вона повинна мати ортогональні рядки з однаковою евклідовою відстанню, що дорівнюватиме одиниці, тобто,

A11A21+A12A22=0{\displaystyle A_{11}A_{21}+A_{12}A_{22}=0}

і

A112+A122=A212+A222=1.{\displaystyle A_{11}^{2}+A_{12}^{2}=A_{21}^{2}+A_{22}^{2}=1.}

Це рівнозначне твердженню, що добуток A на її транспоновану матрицю мусить бути одиничною матрицею. Якщо ці умови не виконуються, то формула описує загальніше афінне перетворення на площині, за умови, що визначник матриці A не є нулем.

Ця формула визначає перенесення тоді й лише тоді, коли A є одиничною матрицею. Перетворення є обертанням довкола деякої точки тоді і лише тоді, коли A є матрицею повороту, що означає наступне:

A11A22−A21A12=1.{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=1.}

Відбиття та ковзну симетрію буде отримувано тоді коли,

A11A22−A21A12=−1.{\displaystyle A_{11}A_{22}-A_{21}A_{12}=-1.}

За умови, що паралельне перенесення не використовується, інші перетворення можна поєднувати простим множенням відповідних матриць перетворення.

Афінне перетворення[ред. | ред. код]

Іншим способом описувати перетворення координат в декартовій системі координат є використання афінних перетвореннь. При застосуванні афінних перетворень додають один додатковий вимір, а всім точкам в цьому додатковому вимірі надають значення 1. Перевагою цього методу є те, що паралельне перенесення точки можливо задавати в останньому стовпчику матриці A. Таким чином, усі евклідові перетворення можливо виконувати за допомогою множення матриці на точку. Афінне перетворення задається наступним чином:

(A11A21b1A12A22b2001)(xy1)=(x′y′1).{\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{21}&b_{1}\\A_{12}&A_{22}&b_{2}\\0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x’\\y’\\1\end{pmatrix}}.} [Зауважте, що в даному випадку наведену вище матрицю A було транспоновано. Матрицю задано ліворуч, а для координат точки використано стовпчикові вектори.]

При використанні афінних перетворень кілька послідовних евклідових перетворень, в тому числі паралельне перенесення, можливо поєднувати простим множенням відповідних матриць.

Масштабування[ред. | ред. код]

Прикладом афінного перетворення, яке не є евклідовим перетворенням, є масштабування. Щоби збільшити або зменшити фігуру, необхідно помножити декартові координати кожної точки на однакове додатне число m. Якщо (x, y) є координатами точки початкової фігури, то відповідна точка масштабованої фігури матиме координати

(x′,y′)=(mx,my).{\displaystyle (x’,y’)=(mx,my).}

Якщо значення m є більшим за 1, то фігуру буде збільшено, якщо значення m знаходиться між 0 і 1, то її буде зменшено.

Скіс[ред. | ред. код]

Перетворення скосу[en] виглядатиме так, ніби верхівку квадрату потягли в сторону таким чином, що утвориться паралелограм. Горизонтальний скіс визначається наступним чином:

(x′,y′)=(x+ys,y){\displaystyle (x’,y’)=(x+ys,y)}

Скіс також можна застосувати й вертикально:

(x′,y′)=(x,xs+y){\displaystyle (x’,y’)=(x,xs+y)}

Додаткова інформація[ред. | ред. код]

З часів Декарта було розроблено багато інших систем координат. Один з важливих різновидів полярної систему координат, а саме сферичну систему координат застосовують в астрономії та навігації. В математиці нерідко переходять від однієї системи координат до іншої, в якій математична модель досліджуваної системи може бути набагато простішою. Доступний виклад основних систем координат в елементарній математиці можна знайти у статті Системи координат в елементарній математиці.

  • Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1998). Geometry. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-59787-0.  (англ.)
  • Burton, David M. (2011). The History of Mathematics/An Introduction (вид. 7th). New York: McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-338315-6.  (англ.)
  • Smart, James R. (1998). Modern Geometries (вид. 5th). Pacific Grove: Brooks/Cole. ISBN 0-534-35188-3.  (англ.)

Презентация к уроку по алгебре (6 класс) по теме: Декарт и его система координат

История возникновения систем координат

Во II веке до н.э. греческий ученый Гиппарх предложил опоясать на карте земной шар параллелями и меридианами, покрыв его как бы условной сеткой, и ввести географические координаты — широту и долготу.

Правда, еще до этого астрономы использовали данный прием, изучая небесный свод.

Во II веке н.э. знаменитый древнегреческий астроном и математик Клавдий Птолемей активно пользовался долготой и широтой в качестве географических координат.
Но систематизировал эти понятия в 17 веке Рене Декарт.

Рене́ Дека́рт (1596 — 1650) — французский математик, философ, физик и физиолог.
Именно он придумал в 1637 году систему координат, которая используется во всем мире и известна каждому школьнику. Ее называют также «Декартова система координат».

 

 

Что же за человек был Декарт?

Декарт происходил из дворянского рода и был младшим (третьим) сыном в семье. Он родился в 1596 году во Франции. Его мать умерла, когда ему был 1 год. Рене получил прекрасное начальное образование в престижном коллеже Ла Флеш. Здесь он обучался у священников-иезуитов.

 

За десять лет, проведенных в колледже, Декарт приобрел писательские навыки, изучил музыкальное и драматическое искусства и даже овладел такими благородными занятиями, как верховая езда и фехтование.
Проведя еще два года в Университете Пуатье, он получил ученую степень в области юриспруденции, но отказался от карьеры юриста.
Рене поступил на военную службу и стал много путешествовать по Европе.

Затем Декарт около двадцати лет жил в Нидерландах. Терпимые голландцы в XVII веке спокойно обходились без таких вещей, как инквизиция, ересь, дыба и сожжение на костре, которые грозили всем европейским оригинальным мыслителям. Здесь, в отличие от других стран, не требовалось расплачиваться за свои идеи.
Декарт ведёт обширную переписку с лучшими учёными Европы, изучает самые различные науки, пишет книги. Он занимался астрономией и медициной.

Великий физиолог Иван Петрович Павлов считал Декарта предтечей

своих исследований. Рене Декарт первым предложил понятие рефлекса.

(Памятник Р. Декарту. Скульптор: И.Ф. Безпалов. Адрес: Аллея бюстов великих ученых в Колтушах.)

Декарт – автор метода радикального сомнения в философии.
 
Ему принадлежит знаменитая фраза: «Cogito, ergo sum»,
   что в переводе с латинского означает:
 «Мыслю, следовательно, существую».

Декартова система координат

Чтобы задать декартову прямоугольную систему координат на плоскости выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями.
Точка пересечения осей – «O» называется началом координат.
На каждой оси (ОX и ОY) задается положительное направление и выбирается единица масштаба (единичный отрезок).

Положение точки A на плоскости определяется двумя координатами x и y.
Координата x равна длине отрезка OB, координата y — длине отрезка OC в выбранных единицах измерения.
Координата x называется абсциссой точки A, координата y — ординатой точки A.
Каждой точке на координатной плоскости соответствует пара чисел: ее абсцисса и ордината: (х; у). И обратно: каждой паре чисел соответствует единственная точка на координатной плоскости.

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве

При введении системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве появляется уникальная возможность описания геометрических фигур и их свойств при помощи уравнений и неравенств. Это имеет иное название – методы алгебры.

Данная статья поможет разобраться с заданием прямоугольной декартовой системой координат и с определением координат точек. Более наглядное и подробное изображение имеется на графических иллюстрациях.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Чтобы ввести систему координат на плоскости, необходимо провести на плоскости две перпендикулярные прямые. Выбираем положительное направление, обозначая стрелочкой. Необходимо выбрать масштаб. Точку пересечения прямых назовем буквой O. Она считается началом отсчета. Это и называется прямоугольной системой координат на плоскости.

Прямые с началом O, имеющие направление и масштаб, называют координатной прямой или координатной осью.

Прямоугольная система координат обозначается Oxy. Координатными осями называют Ох и Оу, называемые соответственно ось абсцисс и ось ординат.

Изображение прямоугольной системы координат на плоскости.

Оси абсцисс и ординат имеют одинаковую единицу изменения и масштаб, что показано в виде штрихе в начале координатных осей. Стандартное направление Ох слева направо, а Oy – снизу вверх. Иногда используется альтернативный поворот под необходимым углом.

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Прямоугольная система координат получила название декартовой в честь ее первооткрывателя Рене Декарта. Часто можно встретить название как прямоугольная декартовая система координат.

Прямоугольная система координат в трехмерном пространстве

Трехмерное евклидовое пространство имеет аналогичную систему, только оно состоит не из двух, а из трех Ох, Оу, Оz осей. Это три взаимно перпендикулярные прямые, где Оz имеет название ось аппликат.

По направлению координатных осей делят на правую и левую прямоугольные системы координат трехмерного

Декартова система координат — Мегаэнциклопедия Кирилла и Мефодия — статья

Дека́ртова систе́ма координа́т (прямолинейная система координат) — две взаимно перпендикулярные друг другу оси с общим началом и обычно с одинаковыми масштабами по осям. Названа по имени Р. Декарта. Декарт впервые ввел координатную систему, которая существенно отличалась от общепринятой в наши дни. Он использовал косоугольную систему координат на плоскости, рассматривая кривую относительно некоторой прямой с фиксированной системой отсчета. Положение точек кривой задавалось с помощью системы параллельных отрезков, наклонных или перпендикулярных к исходной прямой. Декарт не вводил второй координатной оси, не фиксировал направления отсчета от начала координат. Только в 18 веке сформировалось современное понимание координатной системы, получившее имя Декарта.

Для задания декартовой прямоугольной системы координат выбирают взаимно перпендикулярные прямые, называемые осями. Точка пересечения осей O называется началом координат. На каждой оси задается положительное направление и выбирается единица масштаба. Координаты точки P считаются положительными или отрицательными в зависимости от того, на какую полуось попадает проекция точки P.

Декартовыми прямоугольными координатами точки P на плоскости в двухмерной системе координат называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до двух взаимно перпендикулярных прямых — осей координат или проекции радиус-вектора r точки P на две взаимно перпендикулярные координатные оси.

В двухмерной системе координат горизонтальная ось называется осью абсцисс (ось OX), вертикальная ось — осью ординат (ось ОY). Положительные направления выбирают на оси OX — вправо, на оси OY — вверх. Координаты x и y называются соответственно абсциссой и ординатой точки. Запись P(a, b) означает, что точка P на плоскости имеет абсциссу a и ординату b.Декартовыми прямоугольными координатами точки P в трехмерном пространстве называются взятые с определенным знаком расстояния (выраженные в единицах масштаба) этой точки до трех взаимно перпендикулярных координатных плоскостей или проекции радиус-вектораr точки P на три взаимно перпендикулярные координатные оси.

Через произвольную точку пространства O — начало координат — проведены три попарно перпендикулярные прямые: ось OX (ось абсцисс), ось OY (ось ординат), ось OZ (ось аппликат).

На осях координат могут задаваться единичные вектора i, j, k по осям OX, OY, OZ соответственно.

В зависимости от взаимного расположения положительных направлений координатных осей возможны правая и левая координатные системы. Как правило, пользуются правой системой координат. В правой системе координат положительные направления выбирают следующим образом: по оси OX — на наблюдателя; по оси OY — вправо; по оси OZ — вверх. В правой системе координат кратчайший поворот от оси X к оси Y осуществляется против часовой стрелки; если одновременно с таким поворотом двигаться вдоль положительного направления оси Z, то получится движение по правилу правого винта.

Запись P(a, b, c) означает, что точка Р имеет абсциссу a, ординату b и аппликату c.

Каждая тройка чисел (a, b, c) задает единственную точку Р. Следовательно, прямоугольная декартова система координат устанавливает взаимно однозначное соответствие между множеством точек пространства и множеством упорядоченных троек действительных чисел.

Кроме координатных осей существуют также координатные плоскости. Координатными поверхностями, для которых одна из координат остается постоянной, здесь являются плоскости, параллельные координатным плоскостям, а координатными линиями, вдоль которых меняется только одна координата, — прямые, параллельные координатным осям. Координатные поверхности пересекаются по координатным линиям.

Координатная плоскость XOY содержит оси OX и OY, координатная плоскость YOZ содержит оси OY и OZ, координатная плоскость XOZ содержит оси OX и OZ.

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *