Формула скорости света: Сверхсветовое движение — Википедия – 1. Скорость распространения света. Показатель преломления среды

Содержание

Опыт Физо — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июня 2017;
проверки требуют 15 правок.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 13 июня 2017;
проверки требуют 15 правок.

Опыт Физо́ — опыт по определению скорости света в движущихся средах (телах), осуществлённый в 1851 году Луи Физо[1][2].
Опыт демонстрирует эффект частичного увлечения света движущейся средой.

Схема опыта Физо

Луч света от источника разделяется полупрозрачной пластинкой на два луча, один из которых, отражаясь от зеркал, проходит через текущую в трубах воду по направлению её движения, а другой — против её движения. После этого оба луча попадают в интерферометр, где и наблюдается интерференционная картина.
Измерения производились сначала при неподвижной воде, а затем — при движущейся со скоростью u={\displaystyle u=}7 м/c [3]. По смещению интерференционных полос определялась разность времён прохождения лучей в движущейся и неподвижной среде, а следовательно, и величина α{\displaystyle \alpha } (коэффициент увлечения).

Если c{\displaystyle c} — скорость света в вакууме, а n{\displaystyle n} — показатель преломления, то скорость света в неподвижной среде равна c′=c/n{\displaystyle c’=c/n}. Если среда движется относительно лабораторной системы отсчёта со скоростью u{\displaystyle u}, то скорость света будет равна

V=c′±u1±c′u/c2≈cn±(1−1n2)u,{\displaystyle V={\frac {c’\pm u}{1\pm c’u/c^{2}}}\approx {\frac {c}{n}}\pm \left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)u,}

где приближённое равенство записано в первом порядке по u{\displaystyle u}.
В опыте Физо в качестве среды выступала текущая вода.

В теории Лоренца[править | править код]

Первоначально, такая зависимость скорости света V от скорости среды и коэффициента преломления интерпретировалась в рамках классического сложения скоростей. В этом случае результат эксперимента можно объяснить, если считать, что свет частично увлекается средой V=c′±αu{\displaystyle V=c’\pm \alpha u}, где α=1−1/n2{\displaystyle \alpha =1-1/n^{2}} — коэффициент увлечения, а знаки «+» и «−» соответствуют одинаковым и противоположным направлениям распространения света и движения среды. Подобное частичное увлечение было получено в 1818 году Френелем и в дальнейшем возникало в электронной теории X. Лоренца.

Согласно электронной теории Лоренца, эффект увлечения света движущейся средой обусловлен следующим: индуцированные проходящей волной диполи среды дают вторичное излучение, которое при движении среды увлекается вместе с диполями. Значение её при этом должно определяться отношением поляризационного тока ∂P/∂t=(ε−1)ε0∂E/∂t{\displaystyle \partial \mathbf {P} /\partial t=(\varepsilon -1)\varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t} к току смещения ∂D/∂t=εε0∂E/∂t{\displaystyle \partial \mathbf {D} /\partial t=\varepsilon \varepsilon _{0}\partial \mathbf {E} /\partial t} (здесь Р, Е, D — векторы поляризации, напряжённости электрического поля, электрической индукции, ε{\displaystyle \varepsilon } — диэлектрическая проницаемость среды, ε0{\displaystyle \varepsilon _{0}} — электрическая постоянная):

α=∂P/∂t∂D/∂t≈ε−1ε=1−1n2.{\displaystyle \alpha ={\frac {\partial P/\partial t}{\partial D/\partial t}}\approx {\frac {\varepsilon -1}{\varepsilon }}=1-{\frac {1}{n^{2}}}.}

Теория Лоренца частичного увлечения света водой имеет только историческое значение.
Для последовательного описания опыта Физо необходима специальная теория относительности.

В рамках теории относительности[править | править код]

В рамках теории относительности нет необходимости в гипотезе частичного увлечения. Фактически свет полностью «увлекается» средой[прояснить], а результат опыта Физо свидетельствует о неклассическом (релятивистском) сложении скоростей[прояснить].
Таким образом, опыт сыграл важную роль при построении электродинамики движущихся сред и явился одним из экспериментальных обоснований теории относительности Эйнштейна.

Однако при этом оставлена без внимания суть принципа постоянства скорости света, который постулируется в теории относительности Эйнштейна только для источников света, движущихся с разными скоростями. В опыте Физо такие источники не используются. Данный пробел в комментариях опыта Физо в наше время можно считать заполненным обсуждением опытов Саньяка с вращающимся интерферометром при отсутствии каких-либо сред между зеркалами.

Специальная теория относительности — Википедия

Специа́льная тео́рия относи́тельности (СТО; также ча́стная тео́рия относи́тельности) — теория, описывающая движение, законы механики и пространственно-временные отношения при произвольных скоростях движения, меньших скорости света в вакууме, в том числе близких к скорости света (в рамках специальной теории относительности классическая механика Ньютона является приближением низких скоростей). Фактически СТО описывает геометрию четырёхмерного пространства-времени и основана на плоском (то есть неискривлённом) пространстве Минковского. Обобщение СТО для гравитационных полей называется общей теорией относительности.

Основным отличием СТО от классической механики является зависимость (наблюдаемых) пространственных и временных характеристик от скорости. Описываемые специальной теорией относительности отклонения в протекании физических процессов от предсказаний классической механики называют релятивистскими эффектами, а скорости, при которых такие эффекты становятся существенными, — релятивистскими скоростями.

Центральное место в специальной теории относительности занимают преобразования Лоренца, позволяющие преобразовывать пространственно-временные координаты событий при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой.

Специальная теория относительности была создана Альбертом Эйнштейном в работе 1905 года «К электродинамике движущихся тел». Математический аппарат преобразований координат и времени между различными системами отсчёта (с целью сохранения уравнений электромагнитного поля) был ранее сформулирован французским математиком А. Пуанкаре (который и предложил их назвать «преобразованиями Лоренца»: сам Лоренц вывел до этого только приближённые формулы[К. 1]). А. Пуанкаре также первым показал, что эти преобразования можно геометрически представить как повороты в четырёхмерном пространстве-времени (опередив Г. Минковского), и показал, что преобразования Лоренца образуют группу (см. о роли А. Пуанкаре в создании теории относительности подробнее).

Непосредственно термин «теория относительности» был предложен М. Планком. В дальнейшем, после разработки А. Эйнштейном теории гравитации — общей теории относительности — к первоначальной теории начал применяться термин «специальная» или «частная» теория относительности (от нем. Spezielle Relativitätstheorie).

Предпосылкой к созданию теории относительности явилось развитие в XIX веке электродинамики[1].
Результатом обобщения и теоретического осмысления экспериментальных фактов и закономерностей в областях электричества и магнетизма стали уравнения Максвелла, описывающие свойства электромагнитного поля и его взаимодействие с зарядами и токами. В электродинамике Максвелла скорость распространения электромагнитных волн в вакууме не зависит от скоростей движения как источника этих волн, так и наблюдателя, и равна скорости света. Таким образом, уравнения Максвелла оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея, что противоречило классической механике.

Специальная теория относительности была разработана в начале XX века усилиями Г. А. Лоренца, А. Пуанкаре, А. Эйнштейна
и других учёных
[2] (см. История теории относительности). Экспериментальной основой для создания СТО послужил опыт Майкельсона. Результаты оказались неожиданными для классической физики того времени: скорость света не зависит от направления (изотропность) и орбитального движения Земли вокруг Солнца. Попытка интерпретировать полученные данные вылилась в пересмотр классических представлений и привела к созданию специальной теории относительности.

При движении со скоростями, всё более приближающимися к скорости света, отклонение от законов классической динамики становится всё более существенным. Второй закон Ньютона, связывающий силу и ускорение, должен быть модифицирован в соответствии с принципами СТО. Также импульс и кинетическая энергия тела сложнее зависят от скорости, чем в нерелятивистском случае.

Специальная теория относительности получила многочисленные подтверждения на опыте и является верной теорией в своей области применимости[3]
(см. Экспериментальные основания СТО). По меткому замечанию Л. Пэйджа, «в наш век электричества вращающийся якорь каждого генератора и каждого электромотора неустанно провозглашает справедливость теории относительности — нужно лишь уметь слушать»[4].

Специальная теория относительности, как и любая другая физическая теория, может быть сформулирована на базе из основных понятий и постулатов (аксиом) и правил соответствия её физическим объектам.

Основные понятия[править | править код]

Система отсчёта представляет собой некоторое материальное тело, выбираемое в качестве начала этой системы, способ определения положения объектов относительно начала системы отсчёта и способ измерения времени. Обычно различают системы отсчёта и системы координат. Добавление процедуры измерения времени к системе координат «превращает» её в систему отсчёта.

Инерциальная система отсчёта (ИСО) — такая система, относительно которой объект, не подверженный внешним воздействиям, движется равномерно и прямолинейно. Постулируется, что ИСО существуют, и любая система отсчёта, движущаяся относительно данной инерциальной системы равномерно и прямолинейно, также является ИСО.

Событием называется любой физический процесс, который может быть локализован в пространстве, и имеющий при этом очень малую длительность. Другими словами, событие полностью характеризуется координатами (x, y, z) и моментом времени t. Примерами событий являются: вспышка света, положение материальной точки в данный момент времени и т. п.

Обычно рассматриваются две инерциальные системы S и S’. Время и координаты некоторого события, измеренные в системе S, обозначаются как (t, x, y, z), а координаты и время этого же события, измеренные в системе S’, как (t’, x’, y’, z’). Удобно считать, что координатные оси систем параллельны друг другу, и система S’ движется вдоль оси x системы S со скоростью v. Одной из задач СТО является поиск соотношений, связывающих (t’, x’, y’, z’) и (t, x, y, z), которые называются преобразованиями Лоренца.

Синхронизация времени[править | править код]

В СТО постулируется возможность определения единого времени в рамках данной инерциальной системы отсчёта процедурой синхронизации двух часов, находящихся в произвольных точках ИСО[5].

Пусть от первых часов в момент времени t1{\displaystyle t_{1}} ко вторым посылается сигнал (не обязательно световой) с постоянной скоростью u{\displaystyle u}. Сразу по достижении вторых часов сигнал отправляется обратно с той же постоянной скоростью u{\displaystyle u} и достигает первых часов в момент времени t2{\displaystyle t_{2}}. Часы считаются синхронизированными, если выполняется соотношение T=(t1+t2)/2{\displaystyle T=(t_{1}+t_{2})/2}, где T{\displaystyle T}— показание вторых часов в момент прихода к ним сигнала от первых часов.

Предполагается, что такая процедура в данной инерциальной системе отсчёта может быть проведена для любых двух часов, так что справедливо свойство транзитивности: если часы A синхронизированы с часами B, а часы B синхронизированы с часами C, то часы A и C также окажутся синхронизированными.

В отличие от классической механики, единое время можно ввести только в рамках данной системы отсчёта. В СТО не предполагается, что время является общим для различных систем. В этом состоит основное отличие аксиоматики СТО от классической механики, в которой постулируется существование единого (абсолютного) времени для всех систем отсчёта.

Согласование единиц измерения[править | править код]

Чтобы измерения, выполненные в различных ИСО, можно было между собой сравнивать, необходимо провести согласование единиц измерения между системами отсчёта. Так, единицы длины могут быть согласованы при помощи сравнения эталонов длины в перпендикулярном направлении к относительному движению инерциальных систем отсчёта[6]. Например, это может быть кратчайшее расстояние между траекториями двух частиц, движущихся параллельно осям x и x’ и имеющих различные, но постоянные координаты (y, z) и (y’,z’). Для согласования единиц измерения времени можно использовать идентично устроенные часы, например, атомные.

Постулаты СТО[править | править код]

В первую очередь в СТО, как и в классической механике, предполагается, что пространство и время однородны, а пространство также изотропно[7]. Если быть более точным (современный подход), инерциальные системы отсчёта собственно и определяются как такие системы отсчёта, в которых пространство однородно и изотропно, а время однородно. По сути существование таких систем отсчёта постулируется.

Постулат 1 (принцип относительности Эйнштейна). Законы природы одинаковы во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга[8]. Это означает, что форма зависимости физических законов от пространственно-временных координат должна быть одинаковой во всех ИСО, то есть законы инвариантны относительно переходов между ИСО. Принцип относительности устанавливает равноправие всех ИСО.

Учитывая второй закон Ньютона (или уравнения Эйлера-Лагранжа в лагранжевой механике), можно утверждать, что если скорость некоторого тела в данной ИСО постоянна (ускорение равно нулю), то она должна быть постоянна и во всех остальных ИСО. Иногда это и принимают за определение инерциальных систем отсчёта.

Формально, принцип относительности Эйнштейна распространяет классический принцип относительности (Галилея) с механических на все физические явления. Однако, если учесть, что во времена Галилея физика заключалась собственно в механике, то и классический принцип тоже можно было считать распространяющимся на все физические явления. В том числе он должен распространяться и на электромагнитные явления, описываемые уравнениями Максвелла, которые выведены из эмпирически выявленных закономерностей. Однако, согласно последним, скорость распространения света является определённой величиной, не зависящей от скорости источника (по крайней мере в одной системе отсчёта). Из принципа относительности следует, что она не должна зависеть от скорости источника во всех ИСО в силу их равноправности. А значит, она должна быть постоянной во всех ИСО. В этом заключается суть второго постулата:

Постулат 2 (принцип постоянства скорости света). Скорость света в вакууме одинакова во всех системах координат, движущихся прямолинейно и равномерно друг относительно друга[8].

Принцип постоянства скорости света противоречит классической механике, а конкретно — закону сложения скоростей. При выводе последнего используется только принцип относительности Галилея и неявное допущение одинаковости времени во всех ИСО. Таким образом, из справедливости второго постулата следует, что время должно быть относительным — неодинаковым в разных ИСО. Необходимым образом отсюда следует и то, что «расстояния» также должны быть относительны. В самом деле, если свет проходит расстояние между двумя точками за некоторое время, а в другой системе — за другое время и притом с той же скоростью, то отсюда следует, что и расстояние в этой системе должно отличаться.

Необходимо отметить, что световые сигналы, вообще говоря, не требуются при обосновании СТО. Хотя неинвариантность уравнений Максвелла относительно преобразований Галилея привела к построению СТО, последняя имеет более общий характер и применима ко всем видам взаимодействий и физических процессов. Фундаментальная константа c{\displaystyle c}, возникающая в преобразованиях Лоренца, имеет смысл предельной скорости движения материальных тел. Численно она совпадает со скоростью света, однако этот факт, согласно современной квантовой теории поля (уравнения которой изначально строятся как релятивистски инвариантные) связан с безмассовостью электромагнитного поля (фотона). Даже если бы фотон имел отличную от нуля массу, преобразования Лоренца от этого бы не изменились. Поэтому имеет смысл различать фундаментальную константу — скорость c{\displaystyle c} и скорость света cem{\displaystyle c_{em}}[9]. Первая константа отражает общие свойства пространства и времени, тогда как вторая связана со свойствами конкретного взаимодействия.

Также используется постулат причинности: любое событие может оказывать влияние только на события, происходящие позже него, и не может оказывать влияние на события, произошедшие раньше него[10][11][12]. Из постулата причинности и независимости скорости света от выбора системы отсчёта следует, что скорость любого сигнала не может превышать скорость света[13][14][12].

Альтернативные аксиоматики[править | править код]

После построения Эйнштейном СТО на основе вышеуказанных постулатов многие исследователи пытались отказаться от второго постулата вообще. Спустя 5 лет после известной статьи Эйнштейна 1905 года, благодаря работам Игнатовского[15], Ф.Франка и Г.Роте[16] (см. исторический очерк) стал известен способ получения общего вида (с точностью до неопределённой константы) преобразований Лоренца без использования второго постулата. При «правильном» знаке неопределённого параметра эти преобразования совпадают с преобразованиями Лоренца. Из этого следует наличие максимальной скорости, одинаковой во всех ИСО. Тем не менее, знак этой константы из предложенных аксиом никак не следует. Предлагается оценивать значение параметра экспериментально. Чтобы измерить этот параметр, а значит, и фундаментальную скорость c{\displaystyle c}, нет необходимости проводить электродинамические эксперименты. Можно, например, на основе измерений скорости одного и того же объекта в разных ИСО воспользоваться законом сложения скоростей с неопределённым параметром[17]. Необходимо, однако, отметить, что экспериментальное «вычисление» знака неопределённой константы фактически эквивалентно предположению о наличии максимальной скорости, то есть по существу второму постулату.

Тем не менее, попытки аксиоматизации, в том числе без второго постулата, предпринимались позднее и другими исследователями. Существуют также аксиоматики, которые не используют принцип относительности — а только принцип постоянства скорости света. Более подробно с ними можно ознакомиться в статье А. К. Гуца[18].

Пусть координатные оси двух инерциальных систем отсчёта S{\displaystyle S} и S′{\displaystyle S’} параллельны друг другу, (t,x,y,z){\displaystyle (t,x,y,z)} — время и координаты некоторого события, наблюдаемого в системе отсчёта S{\displaystyle S}, а (t′,x′,y′,z′){\displaystyle (t’,x’,y’,z’)} — время и координаты того же события в системе S′{\displaystyle S’}.

Общий вид преобразований Лоренца в векторном виде[19], когда скорость систем отсчёта имеет произвольное направление:

t′=γ⋅(t−rvc2),                   r′=r−γvt+(γ−1)(rv)vv2.{\displaystyle t’=\gamma \cdot \left(t-{\frac {\mathbf {r} \mathbf {v} }{c^{2}}}\right),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {r} ‘=\mathbf {r} -\gamma \mathbf {v} t+(\gamma -1)\,{\frac {(\mathbf {r} \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}.}

где γ=1/1−v2/c2{\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-\mathbf {v} ^{2}/c^{2}}}} — фактор Лоренца, r{\displaystyle \mathbf {r} } и r′{\displaystyle \mathbf {r} ‘} — радиус-векторы события в системе S{\displaystyle S} и S′{\displaystyle S’}.

Если сориентировать координатные оси по направлению относительного движения инерциальных систем (то есть в общие формулы подставить rv=||r||||v||=rv{\displaystyle \mathbf {r} \mathbf {v} =||\mathbf {r} ||||\mathbf {v} ||=rv}) и выбрать это направление в качестве оси x{\displaystyle x} (то есть так, чтобы система S′{\displaystyle S’}двигалась равномерно и прямолинейно со скоростью v{\displaystyle v} относительно S{\displaystyle S} вдоль оси x{\displaystyle x}), то преобразования Лоренца примут следующий вид:

t′=t−vc2x1−v2c2,           x′=x−vt1−v2c2,           y′=y,           z′=z,{\displaystyle t’={\frac {t-{\frac {\displaystyle v}{\displaystyle c^{2}}}\,x}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}},~~~~~~~~~~~x’={\frac {x-vt}{\sqrt {1-{\frac {\displaystyle v^{2}}{\displaystyle c^{2}}}}}},~~~~~~~~~~~y’=y,~~~~~~~~~~~z’=z,}

где c{\displaystyle c} — скорость света. При скоростях много меньше скорости света (v≪c{\displaystyle v\ll c}) преобразования Лоренца переходят в преобразования Галилея:

t′=t,           x′=x−vt,           y′=y,           z′=z.{\displaystyle t’=t,~~~~~~~~~~~x’=x-vt,~~~~~~~~~~~y’=y,~~~~~~~~~~~z’=z.}

Подобный предельный переход является отражением принципа соответствия, согласно которому более общая теория (СТО) имеет своим предельным случаем менее общую теорию (в данном случае — классическую механику).

Вывод преобразований Лоренца[править | править код]

Существует множество способов вывода преобразований Лоренца. Рассмотрим один из вариантов.

Пусть начало координат системы S′{\displaystyle S’} (в силу однородности пространства это может быть любая покоящаяся в этой системе точка) движется относительно системы S{\displaystyle S} со скоростью v{\displaystyle v}. Соответственно, начало координат (покоящаяся точка) системы S{\displaystyle S} движется в S′{\displaystyle S’} со скоростью −v{\displaystyle -v}. В целях упрощения изложения будем предполагать совпадение начал отсчёта обеих ИСО (x′=x=0{\displaystyle x’=x=0}, когда t′=t=0{\displaystyle t’=t=0}) и одинаковой ориентированности координатных осей. Пусть скорость системы S′{\displaystyle S’}(S{\displaystyle S}) направлена по оси x{\displaystyle x} (против оси x′{\displaystyle x’}).

При относительном движении систем вдоль оси x можно считать, что y′=y,z′=z{\displaystyle y’=y,z’=z}. Будем исследовать преобразования для одномерного пространства и рассматривать векторы двумерного пространства — времени z=(x,t){\displaystyle z=(x,t)}.

Линейность преобразований[править | править код]

В силу однородности пространства и времени, изотропности пространства и принципа относительности преобразования от одной ИСО к другой должны быть линейными[20][21]. Линейность преобразований можно также вывести, предполагая, что если два объекта имеют одинаковые скорости относительно одной ИСО, то их скорости будут равны и в любой другой ИСО[22], (при этом необходимо использовать также слабые предположения о дифференцируемости и взаимной однозначности функций преобразования). Если использовать только «определение» ИСО: если некоторое тело имеет постоянную скорость относительно одной инерциальной системы отсчёта, то его скорость будет постоянна и относительно любой другой ИСО, то можно показать только, что преобразования между двумя ИСО должны быть дробно-линейными функциями координат и времени с одинаковым знаменателем[16][23].

Таким образом, если x′{\displaystyle \mathbf {x’} } — пространственно-временной вектор в системе S′{\displaystyle S’}, то будем предполагать, что x=Ax′{\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {x’} }, гдеA{\displaystyle A}— матрица искомого линейного преобразования, зависящая только от относительной скорости рассматриваемых ИСО, то есть A=A(v){\displaystyle A=A(v)}. Тогда линейное преобразование и закон сложения скоростей имеют следующий общий вид (структуру):

A(v)=γ(v)(1vβ(v)1),{\displaystyle A(v)=\gamma (v){\begin{pmatrix}1&v\\\beta (v)&1\\\end{pmatrix}},}
u′+v=u(u′β(v)+1).{\displaystyle u’+v=u(u’\beta (v)+1).}

Доказательство

Рассмотрим движение точки из начала координат относительно системы S′{\displaystyle S’} с постоянной скоростью u′{\displaystyle u’} . Тогда для компонент столбцов x=(ut,t)T,x′=(u′t′,t′)T{\displaystyle \mathbf {x} =(ut,t)^{T},\mathbf {x’} =(u’t’,t’)^{T}} и матрицы линейного преобразования A(v)=(a11a12a21a22){\displaystyle A(v)={\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\\a_{21}&a_{22}\\\end{pmatrix}}} выполнены равенства:

Эквивалентность массы и энергии — Википедия

Эта статья включает описание термина «энергия покоя»

Эта статья включает описание термина «E=mc2»; см. также другие значения.

Эквивале́нтность ма́ссы и эне́ргии — физическая концепция теории относительности, согласно которой полная энергия физического объекта (физической системы, тела) равна его (её) массе, умноженной на размерный множитель квадрата скорости света в вакууме:

 E=mc2{\displaystyle \ E=mc^{2}}, (1)

где E{\displaystyle E} — энергия объекта, m{\displaystyle m} — его масса, c{\displaystyle c} — скорость света в вакууме, равная 299 792 458 м/с.

В зависимости от того, что понимается под терминами «масса» и «энергия», данная концепция может быть интерпретирована двояко:

1) с одной стороны, концепция означает, что масса тела (инвариантная масса, называемая также массой покоя)[1] равна (с точностью до постоянного множителя c²)[2] энергии, «заключённой в нём», то есть его энергии, измеренной или вычисленной в сопутствующей системе отсчёта (системе отсчёта покоя), так называемой энергии покоя, или в широком смысле внутренней энергии этого тела[3],

E0=mc2{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}, (2)

где E0{\displaystyle E_{0}} — энергия покоя тела, m{\displaystyle m} — его масса покоя;

2) с другой стороны, можно утверждать, что любому виду энергии (не обязательно внутренней) физического объекта (не обязательно тела) соответствует некая масса; например, для любого движущегося объекта было введено понятие релятивистской массы, равной (с точностью до множителя c²) полной энергии этого объекта (включая кинетическую)[4],

 mrelc2=E{\displaystyle \ m_{rel}c^{2}=E}, (3)

где E{\displaystyle E} — полная энергия объекта, mrel{\displaystyle m_{rel}} — его релятивистская масса.

m_{{rel}} Формула на небоскрёбе Тайбэй 101 во время одного из мероприятий Всемирного года физики (2005)

Первая интерпретация не является лишь частным случаем второй. Хотя энергия покоя является частным случаем энергии, а m{\displaystyle m} практически равна mrel{\displaystyle m_{rel}} в случае нулевой или малой скорости движения тела, но m{\displaystyle m} имеет выходящее за рамки второй интерпретации физическое содержание: эта величина является скалярным (то есть выражаемым одним числом) инвариантным (неизменным при смене системы отсчёта) множителем в определении 4-вектора энергии-импульса, аналогичным ньютоновской массе и являющимся её прямым обобщением[5], и к тому же m{\displaystyle m} является модулем 4-импульса. Дополнительно, именно m{\displaystyle m} (а не mrel{\displaystyle m_{rel}}) является единственным скаляром, который не только характеризует инертные свойства тела при малых скоростях, но и через который эти свойства могут быть достаточно просто записаны для любой скорости движения тела[6].

Таким образом, m{\displaystyle m} — инвариантная масса — физическая величина, имеющая самостоятельное и во многом более фундаментальное значение[7].

В современной теоретической физике концепция эквивалентности массы и энергии используется в первом смысле[8]. Главной причиной, почему приписывание массы любому виду энергии считается чисто терминологически неудачным и поэтому практически вышло из употребления в стандартной научной терминологии, является следующая из этого полная синонимичность понятий массы и энергии. Кроме того, неаккуратное использование такого подхода может запутывать[9] и в конечном итоге оказывается неоправданным. Таким образом, в настоящее время термин «релятивистская масса» в профессиональной литературе практически не встречается, а когда говорится о массе, имеется в виду инвариантная масса. В то же время термин «релятивистская масса» используется для качественных рассуждений в прикладных вопросах, а также в образовательном процессе и в научно-популярной литературе. Этот термин подчёркивает увеличение инертных свойств движущегося тела вместе с его энергией, что само по себе вполне содержательно[10].

В наиболее универсальной форме принцип был сформулирован впервые Альбертом Эйнштейном в 1905 году, однако представления о связи энергии и инертных свойств тела развивались и в более ранних работах других исследователей.

В современной культуре формула E=mc2{\displaystyle E=mc^{2}} является едва ли не самой известной из всех физических формул, что обусловливается её связью с устрашающей мощью атомного оружия. Кроме того, именно эта формула является символом теории относительности и широко используется популяризаторами науки[11].

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя[править | править код]

Исторически принцип эквивалентности массы и энергии был впервые сформулирован в своей окончательной форме при построении специальной теории относительности Альбертом Эйнштейном. Им было показано, что для свободно движущейся частицы, а также свободного тела и вообще любой замкнутой системы частиц, выполняются следующие соотношения[12]:

 E2−p→2c2=m2c4p→=Ev→c2{\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4}\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}}}, (1.1)

где E{\displaystyle E}, p→{\displaystyle {\vec {p}}}, v→{\displaystyle {\vec {v}}}, m{\displaystyle m} — энергия, импульс, скорость и инвариантная масса системы или частицы, соответственно, c{\displaystyle c} — скорость света в вакууме. Из этих выражений видно, что в релятивистской механике, даже когда в нуль обращаются скорость и импульс тела (массивного объекта), его энергия в нуль не обращается[13], оставаясь равной некоторой величине, определяемой массой тела:

E0=mc2{\displaystyle E_{0}=mc^{2}}. (1.2)

Эта величина носит название энергии покоя,[14] и данное выражение устанавливает эквивалентность массы тела этой энергии. На основании этого факта Эйнштейном был сделан вывод, что масса тела является одной из форм энергии[3] и что тем самым законы сохранения массы и энергии объединены в один закон сохранения[15].

Энергия и импульс тела являются компонентами 4-вектора энергии-импульса (четырёхимпульса)[16] (энергия — временной, импульс — пространственными) и соответствующим образом преобразуются при переходе из одной системы отсчёта в другую, а масса тела является лоренц-инвариантом, оставаясь при переходе в другие системы отсчёта постоянной, и имея смысл модуля вектора четырёхимпульса.

Следует также отметить, что несмотря на то, что энергия и импульс частиц аддитивны[17], то есть для системы частиц имеем:

 E=∑iEip→=∑ip→i{\displaystyle \ E=\sum _{i}E_{i}\qquad {\vec {p}}=\sum _{i}{\vec {p}}_{i}} (1.3)

масса частиц аддитивной не является,[12] то есть масса системы частиц, в общем случае, не равна сумме масс составляющих её частиц.

Таким образом, энергия (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса) и масса (инвариантный, неаддитивный модуль четырёхимпульса) — это две разные физические величины.[7]

Эквивалентность инвариантной массы и энергии покоя означает, что в сопутствующей системе отсчёта, в которой свободное тело покоится, его энергия (с точностью до множителя c2{\displaystyle c^{2}}) равна его инвариантной массе[7][18].

Четырёхимпульс равен произведению инвариантной массы на четырёхскорость тела.

pμ=mUμ{\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!}, (1.4)

Это соотношение следует считать аналогом в специальной теории относительности классического определения импульса через массу и скорость.

После того, как Эйнштейн предложил принцип эквивалентности массы и энергии, стало очевидно, что понятие массы может интерпретироваться двояко. С одной стороны, это инвариантная масса, которая — именно в силу инвариантности — совпадает с той массой, что фигурирует в классической физике, с другой — можно ввести так называемую релятивистскую массу, эквивалентную полной (включая кинетическую) энергии физического объекта[4]:

mrel=Ec2,{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}

где mrel{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }} — релятивистская масса, E{\displaystyle E} — полная энергия объекта.

Для массивного объекта (тела) эти две массы связаны между собой соотношением:

mrel=m1−v2c2,{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}

где m{\displaystyle m} — инвариантная («классическая») масса, v{\displaystyle v} — скорость тела.

Соответственно,

E=mrelc2=mc21−v2c2.{\displaystyle E=m_{\mathrm {rel} }{c^{2}}={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

Энергия и релятивистская масса — это одна и та же физическая величина (неинвариантная, аддитивная, временная компонента четырёхимпульса).[7]

Эквивалентность релятивистской массы и энергии означает, что во всех системах отсчёта энергия физического объекта (с точностью до множителя c2{\displaystyle c^{2}}) равна его релятивистской массе[7][19].

Введённая таким образом релятивистская масса является коэффициентом пропорциональности между трёхмерным («классическим») импульсом и скоростью тела[4]:

p→=mrelv→.{\displaystyle {\vec {p}}=m_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}

Аналогичное соотношение выполняется в классической физике для инвариантной массы, что также приводится как аргумент в пользу введения понятия релятивистской массы. Это в дальнейшем привело к тезису, что масса тела зависит от скорости его движения[20].

В процессе создания теории относительности обсуждались понятия продольной и поперечной массы массивной частицы (тела). Пусть сила, действующая на тело, равна скорости изменения релятивистского импульса. Тогда связь силы F→{\displaystyle {\vec {F}}} и ускорения a→=dv→/dt{\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt} существенно изменяется по сравнению с классической механикой:

F→=dp→dt=ma→1−v2/c2+mv→⋅(v→a→)/c2(1−v2/c2)3/2.{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}

Если скорость перпендикулярна силе, то F→=mγa→,{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}
а если параллельна, то F→=mγ3a→,{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},} где γ=1/1−v2/c2{\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} — релятивистский фактор. Поэтому mγ=mrel{\displaystyle m\gamma =m_{\mathrm {rel} }} называют поперечной массой, а mγ3{\displaystyle m\gamma ^{3}} — продольной.

Утверждение о том, что масса зависит от скорости, вошло во многие учебные курсы и в силу своей парадоксальности приобрело широкую известность среди неспециалистов. Однако в современной физике избегают использовать термин «релятивистская масса», используя вместо него понятие энергии, а под термином «масса» понимая инвариантную массу (покоя). В частности, выделяются следующие недостатки введения термина «релятивистская масса»[8]:

  • неинвариантность релятивистской массы относительно преобразований Лоренца;
  • синонимичность понятий энергия и релятивистская масса, и, как следствие, избыточность введения нового термина;
  • наличие различных по величине продольной и поперечной релятивистских масс и невозможность единообразной записи аналога второго закона Ньютона в виде
mreldv→dt=F→;{\displaystyle m_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}
  • методологические сложности преподавания специальной теории относительности, наличие специальных правил, когда и как следует пользоваться понятием «релятивистская масса» во избежание ошибок;
  • путаница в терминах «масса», «масса покоя» и «релятивистская масса»: часть источников просто массой называют одно, часть — другое.

Несмотря на указанные недостатки, понятие релятивистской массы используется и в учебной,[21] и в научной литературе. Следует, правда, отметить, что в научных статьях понятие релятивистской массы используется по большей части только при качественных рассуждениях как синоним увеличения инертности частицы, движущейся с околосветовой скоростью.

В классической физике гравитационное взаимодействие описывается законом всемирного тяготения Ньютона, и его величина определяется гравитационной массой тела[22], которая с высокой степенью точности равна по величине инертной массе, о которой шла речь выше, что позволяет говорить о просто массе тела[23].

В релятивистской физике гравитация подчиняется законам общей теории относительности, в основе которой лежит принцип эквивалентности, заключающийся в неотличимости явлений, происходящих локально в гравитационном поле, от аналогичных явлений в неинерциальной системе отсчёта, движущейся с ускорением, равным ускорению свободного падения в гравитационном поле. Можно показать, что данный принцип эквивалентен утверждению о равенстве инертной и гравитационной масс[24].

В общей теории относительности энергия играет ту же роль, что и гравитационная масса в классической теории. Действительно, величина гравитационного взаимодействия в этой теории определяется так называемым тензором энергии-импульса, являющимся обобщением понятия энергии[25].

В простейшем случае точечной частицы в центрально-симметричном гравитационном поле объекта, масса которого много больше массы частицы, сила, действующая на частицу, определяется выражением[8]:

F→=−GMEc2(1+β2)r→−(r→β→)β→r3,{\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}},}

где G — гравитационная постоянная, M — масса тяжёлого объекта, E — полная энергия частицы, β=v/c,{\displaystyle \beta =v/c,} v — скорость частицы, r→{\displaystyle {\vec {r}}} — радиус-вектор, проведённый из центра тяжёлого объекта в точку нахождения частицы. Из этого выражения видна главная особенность гравитационного взаимодействия в релятивистском случае по сравнению с классической физикой: оно зависит не только от массы частицы, но и от величины и направления её скорости. Последнее обстоятельство, в частности, не позволяет ввести однозначным образом некую эффективную гравитационную релятивистскую массу, сводившую бы закон тяготения к классическому виду[8].

Предельный случай безмассовой частицы[править | править код]

Важным предельным случаем является случай частицы, масса которой равна нулю. Примером такой частицы является фотон — частица-переносчик электромагнитного взаимодействия[26]. Из приведённых выше формул следует, что для такой частицы справедливы следующие соотношения:

E=pc,v=c.{\displaystyle E=pc,\qquad v=c.}

Таким образом, частица с нулевой массой вне зависимости от своей энергии всегда движется со скоростью света. Для безмассовых частиц введение понятия «релятивистской массы» в особой степени не имеет смысла, поскольку, например, при наличии силы в продольном направлении скорость частицы постоянна, а ускорение, следовательно, равно нулю, что требует бесконечной по величине эффективной массы тела. В то же время, наличие поперечной силы приводит к изменению направления скорости, и, следовательно, «поперечная масса» фотона имеет конечную величину.

Аналогично бессмысленно для фотона вводить эффективную гравитационную массу. В случае центрально-симметричного поля, рассмотренного выше, для фотона, падающего вертикально вниз, она будет равна E/c2{\displaystyle E/c^{2}}, а для фотона, летящего перпендикулярно направлению на гравитационный центр, — 2E/c2{\displaystyle 2E/c^{2}}[8].

Полученная А. Эйнштейном эквивалентность массы тела запасённой в теле энергии стала одним из главных практически важных результатов специальной теории относительности. Соотношение E0=mc2{\displaystyle E_{0}=mc^{2}} показало, что в веществе заложены огромные (благодаря квадрату скорости света) запасы энергии, которые могут быть использованы в энергетике и военных технологиях[28].

Количественные соотношения между массой и энергией[править | править код]

В международной системе единиц СИ отношение энергии и массы E/m{\displaystyle E/m} выражается в джоулях на килограмм, и оно численно равно квадрату значения скорости света c{\displaystyle c} в метрах в секунду:

Em=c2=(299 792 458 m/s)2{\displaystyle {\frac {E}{m}}=c^{2}=({\text{299 792 458 m/s}})^{2}} = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0⋅1016 джоулей на килограмм).

Таким образом, 1 грамм массы эквивалентен следующим значениям энергии:

В ядерной физике часто применяется значение отношения энергии и массы, выраженное в мегаэлектронвольтах на атомную единицу массы — ≈931,494 МэВ/а.е.м.

Примеры взаимопревращения энергии покоя и кинетической энергии[править | править код]

Энергия покоя способна переходить в кинетическую энергию частиц в результате ядерных и химических реакций, если в них масса вещества, вступившего в реакцию, больше массы вещества, получившегося в результате. Примерами таких реакций являются[8]:

e−+e+→2γ.{\displaystyle e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma .}
2e−+4p+→24He+2νe+Ekin.{\displaystyle 2e^{-}+4p^{+}\rightarrow {}_{2}^{4}\mathrm {He} +2\nu _{e}+E_{\mathrm {kin} }.}
92235U+01n→3693Kr+56140Ba+3 01n.{\displaystyle {}_{92}^{235}\mathrm {U} +{}_{0}^{1}n\rightarrow {}_{36}^{93}\mathrm {Kr} +{}_{56}^{140}\mathrm {Ba} +3~{}_{0}^{1}n.}
Ch5+2O2→CO2+2h3O.{\displaystyle \mathrm {CH} _{4}+2\mathrm {O} _{2}\rightarrow \mathrm {CO} _{2}+2\mathrm {H} _{2}\mathrm {O} .}

В этой реакции выделяется порядка 35,6 МДж тепловой энергии на кубический метр метана, что составляет порядка 10−10 от его энергии покоя. Таким образом, в химических реакциях преобразование энергии покоя в кинетическую энергию значительно ниже, чем в ядерных. На практике этим вкладом в изменение массы прореагировавших веществ в большинстве случаев можно пренебречь, так как оно обычно лежит вне пределов возможности измерений.

Важно отметить, что в практических применениях превращение энергии покоя в энергию излучения редко происходит со стопроцентной эффективностью. Теоретически совершенным превращением было бы столкновение материи с антиматерией, однако в большинстве случаев вместо излучения возникают побочные продукты и вследствие этого только очень малое количество энергии покоя превращается в энергию излучения.

Существуют также обратные процессы, увеличивающие энергию покоя, а следовательно и массу. Например, при нагревании тела увеличивается его внутренняя энергия, в результате чего возрастает масса тела[29]. Другой пример — столкновение частиц. В подобных реакциях могут рождаться новые частицы, массы которых существенно больше, чем у исходных. «Источником» массы таких частиц является кинетическая энергия столкновения.

{\mathrm  {CH}}_{4}+2{\mathrm  O}_{2}\rightarrow {\mathrm  {CO}}_{2}+2{\mathrm  H}_{2}{\mathrm  O}.

Представление о массе, зависящей от скорости, и об имеющейся связи между массой и энергией начало формироваться ещё до появления специальной теории относительности. В частности, в попытках согласовать уравнения Максвелла с уравнениями классической механики некоторые идеи были выдвинуты в трудах Генриха Шрамма[30] (1872), Н. А. Умова (1874), Дж. Дж. Томсона (1881), О. Хевисайда (1889), Р. Сирла (англ.)русск., М. Абрагама, Х. Лоренца и А. Пуанкаре[11]. Однако только у А. Эйнштейна эта зависимость универсальна, не связана с эфиром и не ограничена электродинамикой[31].

Считается, что впервые попытка связать массу и энергию была предпринята в работе Дж. Дж. Томсона, появившейся в 1881 году[8]. Томсон в своей работе вводит понятие электромагнитной массы, называя так вклад, вносимый в инертную массу заряженного тела электромагнитным полем, создаваемым этим телом[32].

Идея наличия инерции у электромагнитного поля присутствует также и в работе О. Хевисайда, вышедшей в 1889 году[33]. Обнаруженные в 1949 году черновики его рукописи указывают на то, что где-то в это же время, рассматривая задачу о поглощении и излучении света, он получает соотношение между массой и энергией тела в виде E=mc2{\displaystyle E=mc^{2}}[34][35].

В 1900 году А. Пуанкаре опубликовал работу, в которой пришёл к выводу, что свет как переносчик энергии должен иметь массу, определяемую выражением E/v2,{\displaystyle E/v^{2},} где E — переносимая светом энергия, v — скорость переноса[36].

E/v^{2},

В работах М. Абрагама (1902 год) и Х. Лоренца (1904 год) было впервые установлено, что, вообще говоря, для движущегося тела нельзя ввести единый коэффициент пропорциональности между его ускорением и действующей на него силой. Ими были введены понятия продольной и поперечной масс, применяемые для описания динамики частицы, движущейся с околосветовой скоростью, с помощью второго закона Ньютона[37][38]. Так, Лоренц в своей работе писал[39]:

Следовательно, в процессах, при которых возникает ускорение в направлении движения, электрон ведёт себя так, как будто он имеет массу m1,{\displaystyle m_{1},} а при ускорении в направлении, перпендикулярном к движению, как будто обладает массой m2.{\displaystyle m_{2}.} Величинам

Длина волны — Википедия

График волны функции (например, физической величины) y, распространяющейся вдоль оси Оx, построенный в фиксированный момент времени (t = const). Длина волны λ может быть измерена как расстояние между парой соседних максимумов y (x) либо минимумов, либо как удвоенное расстояние между соседними точками, в которых y = 0

Длина́ волны́ — расстояние между двумя ближайшими друг к другу точками в пространстве, в которых колебания происходят в одинаковой фазе[1][2].

Длина́ волны́ (в линии передачи) — расстояние в линии передачи, на котором фаза электромагнитной волны вдоль направления распространения меняется на 2π[3].

Длину волны можно также определить:

  • как расстояние, измеренное в направлении распространения волны, между двумя точками в пространстве, в которых фаза колебательного процесса отличается на 2π{\displaystyle 2\pi };
  • как путь, который проходит фронт волны за интервал времени, равный периоду колебательного процесса;
  • как пространственный период волнового процесса.

Представим себе волны, возникающие в воде от равномерно колеблющегося поплавка, и мысленно остановим время. Тогда длина волны — это расстояние между двумя соседними гребнями волны, измеренное в радиальном направлении. Длина волны — одна из основных характеристик волны наряду с частотой, амплитудой, начальной фазой, направлением распространения и поляризацией. Для обозначения длины волны принято использовать греческую букву λ{\displaystyle \lambda }, размерность длины волны — метр.

Как правило, длина волны используется применительно к гармоническому или квазигармоническому (например, затухающему или узкополосному модулированному) волновому процессу в однородной, квазиоднородной или локально однородной среде. Однако формально длину волны можно определить по аналогии и для волнового процесса с негармонической, но периодической пространственно-временной зависимостью, содержащей в спектре набор гармоник. Тогда длина волны будет совпадать с длиной волны основной (наиболее низкочастотной, фундаментальной) гармоники спектра.

Длина волны — пространственный период волнового процесса[править | править код]

Волна — колебательный процесс, развивающийся (распространяющийся) в пространстве и во времени, в связи с этим изменяющаяся в волновом процессе физическая величина является функцией пространственных координат и времени (то есть особого вида пространственно-временной функцией). Волновой процесс в частности может быть периодическим (например, гармоническим). По аналогии с «временны́м» периодом T{\displaystyle T} [с] (интервалом времени, за который периодический колебательный процесс повторяется) длину волны λ{\displaystyle \lambda } [м] можно рассматривать как пространственный период волнового процесса. Следует заметить, что «временно́й» круговой частоте ω=2πf=2π/T{\displaystyle \omega =2\pi f=2\pi /T} [радиан/с], показывающей, на сколько радиан изменится фаза колебания за 1 с, соответствует «пространственная круговая частота» k=2π/λ{\displaystyle k=2\pi /\lambda } [радиан/м], называемая волновым числом и показывающая, на сколько радиан отличаются фазы колебательного процесса в двух точках в пространстве, расположенных вдоль направления распространения волны на расстоянии 1 м друг от друга. При этом очевидно, что фазы колебательного процесса в двух таких точках, расположенных друг от друга на расстоянии в λ{\displaystyle \lambda }, отличаются ровно на 2π{\displaystyle 2\pi }.

Получить соотношение, связывающее длину волны с фазовой скоростью v{\displaystyle v} и частотой f{\displaystyle f} можно из определения. Длина волны соответствует пространственному периоду волны, то есть расстоянию, которое точка с постоянной фазой «проходит» за интервал времени, равный периоду T{\displaystyle T} колебаний, поэтому

λ=vT=vf=2πvω.{\displaystyle \lambda =vT={\frac {v}{f}}={\frac {2\pi v}{\omega }}.}

Для электромагнитных волн в вакууме скорость v{\displaystyle v} в этой формуле равна скорости света (299 792 458 м/с), и длина волны
λ=299792458 m/sf{\displaystyle \lambda ={\frac {299\,792\,458~{\text{m/s}}}{f}}}. Если значение f{\displaystyle f} подставить в герцах, то λ{\displaystyle \lambda } будет выражена в метрах.

Радиоволны делят на диапазоны по значениям длин волн, например, 10…100 м — декаметровые (короткие) волны, 1…10 м — метровые, 0.1…1,0 м — дециметровые и т. п. Механизмы и условия распространения радиоволн, степень проявления эффекта дифракции, отражающие свойства объектов, предельная дальность радиосвязи и радиолокации сильно зависят от длины волны. Как правило, габаритные размеры антенн сравнимы либо (справедливо всегда для антенн направленного действия) превышают рабочую длину волны радиоэлектронного средства.

В оптически более плотной среде (слой выделен тёмным цветом) длина электромагнитной волны сокращается. Синяя линия — распределение мгновенного (t = const) значения напряжённости поля волны вдоль направления распространения. Изменение амплитуды напряжённости поля, обусловленное отражением от границ раздела и интерференцией падающей и отражённых волн, на рисунке условно не показано.

Длина электромагнитной волны в среде короче, чем в вакууме:

λ=cnν,{\displaystyle \lambda ={\frac {c}{n\nu }},}
где n=εμ>1{\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}>1} — показатель преломления среды;
ε{\displaystyle \varepsilon } — относительная диэлектрическая проницаемость среды;
μ{\displaystyle \mu } — относительная магнитная проницаемость среды.

Величины n{\displaystyle n}, μ{\displaystyle \mu } и ε{\displaystyle \varepsilon } могут существенно зависеть от частоты ν{\displaystyle \nu } (явление дисперсии). Поскольку для большинства сред в радиочастотном диапазоне μ≈1{\displaystyle \mu \approx 1} (для диэлектриков μ=1{\displaystyle \mu =1}, для ферромагнетиков с ростом частоты μ→1{\displaystyle \mu \rightarrow 1}), то в инженерной практике используют величину 1/ε<1{\displaystyle 1/{\sqrt {\varepsilon }}<1}, которую называют коэффициентом укорочения. Она равна отношению длины волны в среде к длине волны в вакууме. Например, для полиэтилена (используется в радиочастотном диапазоне как изоляционный материал с малыми потерями) ε{\displaystyle \varepsilon } = 2,56, и коэффициент укорочения 1/ε{\displaystyle 1/{\sqrt {\varepsilon }}} = 1/1,6 = 0,625.

Напротив, длина электромагнитной волны (поперечномагнитной, поперечноэлектрической) в волноводах может быть не только больше, чем в среде с тем же значением ε{\displaystyle \varepsilon }, но и больше, чем вакууме, поскольку фазовая скорость электромагнитной волны в волноводе превышает скорость электромагнитной волны в среде с тем же ε{\displaystyle \varepsilon }.

Волнам де Бройля также соответствует определённая длина волны. Частице с энергией E{\displaystyle E} и импульсом p{\displaystyle p}, соответствуют:

  • частота: ν=Eh,{\displaystyle \nu ={\frac {E}{h}},}
  • длина волны: λ=hp,{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}},}
где h{\displaystyle h} — постоянная Планка.

Видеоурок: длина волны

Приближённо, с погрешностью около 0,07 % рассчитать длину радиоволны в свободном пространстве можно так: 300 делим на частоту в мегагерцах, получаем длину волны в метрах. Другой способ — запомнить какую-нибудь удобную пару f{\displaystyle f} ↔ λ{\displaystyle \lambda }, например, частоте 100 МГц соответствует длина волны 3 м; тогда оценив, во сколько раз требуемая частота выше или ниже 100 МГц, можно определить длину волны. Например, 1 МГц ниже 100 МГц в 100 раз, значит 1 МГц ↔ 3 м × 100 = 300 м

Примеры характерных частот и длин волн: частоте 50 Гц (частота тока в электросети) соответствует длина радиоволны 6000 км; частоте 100 МГц (радиовещательный FM-диапазон) — 3 м; 900 (1800) МГц (мобильные телефоны) —
33,3 (16,7) см; 2,4 ГГц (Wi-Fi) — 12,5 см; 10 ГГц (бортовые радиолокационные станции системы управления вооружением современных самолётов-истребителей) — 3 см. Видимый свет представляет собой электромагнитное излучение c длинами волн от 380 до 780 нм[4].

  1. ↑ Колебания и волны // Физика : Учебник для 11 класса общеобразовательных учреждений / Г. Я. Мякишев, Б. Б. Буховцев. — 12-е изд. — М. : Просвещение, 2004. — С. 121. — 336 с. — 50 000 экз. — ISBN 5-09-013165-1.
  2. ↑ Определение не вполне корректно, поскольку (1) в одинаковой фазе колебания происходят и на фронте волны, и расстояние между точками на фронте может быть произвольным, в том числе и нулевым; (2) чтобы расстояние между двумя точками равнялось длине волны, колебание должно происходить не в одинаковой фазе, а со сдвигом фаз в 2π{\displaystyle 2\pi }, и расположены точки должны быть вдоль линии распространения
  3. ↑ ГОСТ 18238-72. Линии передачи сверхвысоких частот. Термины и определения.
  4. ↑ ГОСТ 7601-78. Физическая оптика. Термины, буквенные обозначения и определения основных величин Архивная копия от 23 марта 2013 на Wayback Machine

Дисперсия света — Википедия

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 ноября 2018;
проверки требуют 4 правки.
Текущая версия страницы пока не проверялась опытными участниками и может значительно отличаться от версии, проверенной 15 ноября 2018;
проверки требуют 4 правки.

Разложение света в спектр вследствие дисперсии при прохождении через призму (опыт Ньютона).
У этого термина существуют и другие значения, см. Дисперсия.

Диспе́рсия све́та (разложение света) — это совокупность явлений, обусловленных зависимостью абсолютного показателя преломления вещества от частоты (или длины волны) света (частотная дисперсия), или, то же самое, зависимостью фазовой скорости света в веществе от частоты (или длины волны). Экспериментально открыта Ньютоном около 1672 года, хотя теоретически достаточно хорошо объяснена значительно позднее.

Пространственной дисперсией называется зависимость тензора диэлектрической проницаемости среды от волнового вектора. Такая зависимость вызывает ряд явлений, называемых эффектами пространственной поляризации.

Один из самых наглядных примеров дисперсии — разложение белого света при прохождении его через призму (опыт Ньютона). Сущностью явления дисперсии является различие фазовых скоростей распространения лучей света c различной длиной волны в прозрачном веществе — оптической среде (тогда как в вакууме скорость света всегда одинакова, независимо от длины волны и, следовательно цвета). Обычно, чем меньше длина световой волны, тем больше показатель преломления среды для неё и тем меньше фазовая скорость волны в среде:

  • у света красного цвета фазовая скорость распространения в среде максимальна, а степень преломления — минимальна,
  • у света фиолетового цвета фазовая скорость распространения в среде минимальна, а степень преломления — максимальна.

Однако в некоторых веществах (например, в парах иода) наблюдается эффект аномальной дисперсии, при котором синие лучи преломляются меньше, чем красные, а другие лучи поглощаются веществом и от наблюдения ускользают. Говоря строже, аномальная дисперсия широко распространена, например, она наблюдается практически у всех газов на частотах вблизи линий поглощения, однако у паров иода она достаточно удобна для наблюдения в оптическом диапазоне, где они очень сильно поглощают свет.

Дисперсия света позволила впервые вполне убедительно показать составную природу белого света.

Белый свет разлагается в спектр и в результате прохождения через дифракционную решётку или отражения от неё (это не связано с явлением дисперсии, а объясняется природой дифракции). Дифракционный и призматический спектры несколько отличаются: призматический спектр сжат в красной части и растянут в фиолетовой и располагается в порядке убывания длины волны: от красного к фиолетовому; нормальный (дифракционный) спектр — равномерный во всех областях и располагается в порядке возрастания длин волн: от фиолетового к красному.

По аналогии с дисперсией света, также дисперсией называются и сходные явления зависимости распространения волн любой другой природы от длины волны (или частоты). По этой причине, например, термин закон дисперсии, применяемый как название количественного соотношения, связывающего частоту и волновое число, применяется не только к электромагнитной волне, но к любому волновому процессу.

Дисперсией объясняется факт появления радуги после дождя (точнее тот факт, что радуга разноцветная, а не белая).

Дисперсия является причиной хроматических аберраций — одних из аберраций оптических систем, в том числе фотографических и видеообъективов.

Огюстен Коши предложил эмпирическую формулу для аппроксимации зависимости показателя преломления среды от длины волны:

n=a+b/λ2+c/λ4{\displaystyle n=a+b/\lambda ^{2}+c/\lambda ^{4}},

где λ{\displaystyle \lambda } — длина волны в вакууме; a, b, c — постоянные, значения которых для каждого материала должны быть определены в опыте. В большинстве случаев можно ограничиться двумя первыми членами формулы Коши. Впоследствии были предложены другие более точные, но и одновременно более сложные, формулы аппроксимации.

Дисперсия света в природе и искусстве[править | править код]

\lambda Из-за дисперсии можно наблюдать разные цвета.

  • Радуга, чьи цвета обусловлены дисперсией, — один из ключевых образов культуры и искусства.
  • Благодаря дисперсии света, можно наблюдать цветную «игру света» на гранях бриллианта и других прозрачных гранёных предметах или материалах.
  • В той или иной степени радужные эффекты обнаруживаются достаточно часто при прохождении света через почти любые прозрачные предметы. В искусстве они могут специально усиливаться и/или подчеркиваться.
  • Разложение света в спектр (вследствие дисперсии) при преломлении в призме — довольно распространенная тема в изобразительном искусстве. Например, на обложке альбома The Dark Side of the Moon группы Pink Floyd изображено преломление света в призме с разложением в спектр.
  • Яштолд-Говорко В. А. Фотосъёмка и обработка. Съёмка, формулы, термины, рецепты. — Изд. 4-е, сокр. — М.: Искусство, 1977.

Закон прямолинейного распространения света. Скорость света и методы ее измерения.

Закон прямолинейного распространения света.

Свет в однородной среде распространяется прямолинейно.

Луч – часть прямой, указывающей направление распространения света. Понятие луча ввел Евклид (геометрическая или лучевая оптика – раздел оптики, изучающий законы распространения света, основанные на понятии луча, без учета природы света).

Прямолинейностью распространения света объясняется образование тени и полутени.

При малых размерах источника (источник, находится на расстоянии, по сравнению с которым размерами источника можно пренебречь) получается только тень (область пространства, в которую свет не попадает).

При больших размерах источника света (или, если источник находится близко к предмету) создаются нерезкие тени (тень и полутень).

В астрономии – объяснение затмений.

Свет в однородной среде распространяется прямолинейно

Световые пучки распространяются независимо друг от друга. Например, проходя один через другой, они не влияют на взаимное распространение.

Световые пучки обратимы, т.е., если поменять местами источник света и изображение, полученное с помощью оптической системы, то ход лучей от этого не изменится.

Световые пучки распространяются независимо друг от друга

Скорость света и методы ее измерения.

Первые предложения выдвинуты Галилеем: фонарь и зеркало устанавливаются на вершинах двух гор; зная расстояние между горами и, измеряя время распространения, можно рассчитать скорость света.

 

Астрономический метод измерения скорости света

Впервые осуществлен датчанином Олафом Ремером в 1676 г. Когда Земля очень близко подошла к Юпитеру (на расстояние L1), промежуток времени между двумя появлениями спутника Ио оказался 42 ч 28 мин; когда же Земля удалилась от Юпитера на расстояние L2, спутник стал выходить из тени Юпитера на 22 мин. позднее. Объяснение Ремера: это запаздывание происходит за счет того, что свет проходит дополнительное расстояние Δ ll 2 – l 1.

Скорость света

Астрономический метод измерения скорости света

Лабораторный метод измерения скорости света

Метод Физо (1849). Свет падает на полупрозрачную пластину и отражается, проходя через вращающееся зубчатое колесо. Пучок, отраженный от зеркала, может попасть к наблюдателю, только пройдя между зубьями. Если знать скорость вращения зубчатого колеса, расстояние между зубьями и расстояние между колесом и зеркалом, то можно рассчитать скорость света.

Метод Фуко – вместо зубчатого колеса вращающаяся зеркальная восьмигранная призма.

 

с=313 000 км/с. 

Лабораторный метод измерения скорости света

В настоящее время вместо механических делителей светового потока применяются оптоэлектронные (ячейка Керра – кристалл, оптическая прозрачность которого меняется в зависимости от величины электрического напряжения).

 

Можно измерить частоту колебаний волны и независимо – длину волны (особенно удобно в радиодиапазоне), а затем рассчитать скорость света по формуле Можно измерить частоту колебаний волны и независимо.

 

По современным данным, в вакууме с=(299792456,2 ± 0,8) м/с.

 

Аберрация света — Википедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Аберрация.

Результаты наблюдений аберрации γ-Дракона Брэдли в 1727 г.

Аберра́ция све́та (лат. aberratio, от ab от и errare блуждать, уклоняться) — изменение направления распространения света (излучения) при переходе из одной системы отсчёта к другой[1].

При астрономических наблюдениях аберрация света приводит к изменению положения звёзд на небесной сфере вследствие изменения направления скорости движения Земли. Различают годичную, суточную и вековую аберрации. Годичная аберрация связана с движением Земли вокруг Солнца.
Суточная — обусловлена вращением Земли вокруг своей оси. Вековая аберрация учитывает эффект движения солнечной системы вокруг центра Галактики[2].

Явление аберрации света приводит также к неизотропности излучения движущегося источника. Если в системе покоя источника его излучение изотропно, то в системе отсчёта, относительно которой он движется, это излучение будет неизотропным, с повышением интенсивности в направлении движения источника[1].

Аберрация света связана с правилом сложения скоростей и имеет простую и наглядную аналогию в обыденной жизни. Предположим, человек с зонтом находится под дождём, капли которого падают вертикально вниз. Если человек побежит с некоторой скоростью, то капли начнут падать под наклоном, ему навстречу. Чтобы не промокнуть, человек должен наклонить зонт в направлении движения[3].

Необходимо помнить, что описанная выше ситуация является лишь аналогией световой аберрации. Свет движется существенно быстрее, чем капли дождя. Поэтому для описания аберрации света необходимо пользоваться релятивистским законом сложения скоростей.

Пусть инерциальная система отсчёта S’ движется со скоростью v относительно системы отсчёта S. Обозначим через θ{\displaystyle \theta } угол в системе S между направлением распространения света и скоростью v. Аналогичный угол в системе S’ обозначим через θ′{\displaystyle \theta ‘}.
Связь этих углов описывается формулой аберрации света:

sin⁡θ=1−v2/c2sin⁡θ′1+(v/c)cos⁡θ′,{\displaystyle \sin \theta ={\frac {{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\sin \theta ‘}{1+(v/c)\cos \theta ‘}},}

где c{\displaystyle c} — скорость света. Иногда эта формула записывается с минусом перед
скоростью в знаменателе, если в качестве направления используется вектор, ориентированный навстречу световому сигналу (от наблюдателя к источнику).

Угол α=θ′−θ{\displaystyle \alpha =\theta ‘-\theta } называется углом аберрации[1].
В случае, если относительная скорость систем отсчёта v мала, то угол аберрации равен:

α=θ′−θ≈vcsin⁡θ′.{\displaystyle \alpha =\theta ‘-\theta \approx {\frac {v}{c}}\,\sin \theta ‘.}

Приведённые выше формулы не зависят от скорости источника света. Связано это с тем, что значение скорости света не зависит ни от скорости источника, ни от скорости приёмника. Кроме этого аберрационные формулы применимы не только к световым сигналам, но и к любым ультрарелятивистским частицам, движущимися со скоростями близкими к скорости света.

Сложение скоростей[править | править код]

Формулы для аберрации света непосредственно следуют из релятивистского правила сложения скоростей. Пусть система отсчёта S’ движется относительно системы отсчёта S со скоростью v вдоль оси x (оси систем параллельны). Если некоторая частица имеет компоненты скорости ux{\displaystyle u_{x}}, uy{\displaystyle u_{y}} в системе S и со штрихами в системе S’, тогда выполняются соотношения
[4]:

ux=ux′+v1+vux′/c2,        uy=uy′1−v2/c21+vux′/c2.{\displaystyle u_{x}={\frac {u’_{x}+v}{1+vu’_{x}/c^{2}}},~~~~~~~~u_{y}={\frac {u’_{y}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}{1+vu’_{x}/c^{2}}}.}

Компоненты скорости частицы, движущейся со скоростью света равны ux=ccos⁡θ,{\displaystyle u_{x}=c\cos \theta ,} uy=csin⁡θ{\displaystyle u_{y}=c\sin \theta } и аналогично со штрихами в системе S’. Подставляя их в преобразования для uy{\displaystyle u_{y}}, получаем формулу для аберрации света.
Преобразования для ux{\displaystyle u_{x}} приводят к аналогичной связи для косинусов в обеих системах отсчёта.

Преобразование волнового вектора[править | править код]

Приведённый в предыдущем разделе вывод применим к объектам независимо от их природы. Это могут быть как частицы, движущиеся с околосветовой скоростью, так и электромагнитная волна. Для волновых сигналов формулу аберрации света можно получить также из закона преобразования для волнового вектора. Волновой вектор k{\displaystyle \mathbf {k} } направлен перпендикулярно фронту волны и вместе с её частотой ω{\displaystyle \omega } образует компоненты 4-вектора kν={ω/c, k}{\displaystyle k^{\nu }=\{\omega /c,~\mathbf {k} \}}. В соответствии с преобразованиями Лоренца компоненты этого вектора, измеренные наблюдателями в двух инерциальных системах отсчёта, имеют вид:

ω=ω′+vkx′1−v2/c2,        kx=kx′+vω′/c21−v2/c2,        ky=ky′.{\displaystyle \omega ={\frac {\omega ‘+vk’_{x}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},~~~~~~~~k_{x}={\frac {k’_{x}+v\omega ‘/c^{2}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}},~~~~~~~~k_{y}=k_{y}’.}

Квадрат волнового вектора равен k2=ω2/c2{\displaystyle \mathbf {k} ^{2}=\omega ^{2}/c^{2}}. Введём угол θ{\displaystyle \theta } между волновым вектором и осью x (и, следовательно, скоростью v), так, что kx=(ω/c)cos⁡θ{\displaystyle k_{x}=(\omega /c)\cos \theta } и ky=(ω/c)sin⁡θ{\displaystyle k_{y}=(\omega /c)\sin \theta } и аналогично со штрихами в системе отсчёта S’. Равенство проекций волнового вектора на ось y в двух системах отсчёта приводит к соотношению ωsin⁡θ=ω′sin⁡θ′{\displaystyle \omega \sin \theta =\omega ‘\sin \theta ‘}. Исключая частоту при помощи первого уравнения преобразований Лоренца,
получаем формулу для аберрации света. Одновременно с ней преобразования Лоренца приводят к соотношениям для релятивистского эффекта Доплера.

Аберрация света приводит к изменению положения объекта наблюдения на небесной сфере в результате движения Земли. На самом деле двух наблюдателей, сравнивающих углы, в данном случае нет. Наблюдатель один, и он расположен на Земле. Второго можно представлять, например, неподвижным относительно Солнца, но как воображаемого. Направление скорости Земли, например, при движении вокруг Солнца меняется. При этом происходит смена сопутствующих к Земле инерциальных систем отсчёта. Поэтому наблюдатель на Земле через полгода оказывается в системе отсчёта, движущейся в обратную сторону относительно своего прошлого положения. Исключая из аберрационных формул «воображаемого наблюдателя», мы получим изменение угла для астронома в два различных момента времени.
В результате эффекта аберрации звезда в течение года описывает на небесной сфере эллипс (годичная аберрация).

В астрономии используют систему отсчёта, связанную с Солнечной системой, поскольку её с высокой точностью можно считать инерциальной. Звёздные атласы составлены именно в ней, так что эффект вековой аберрации выводится из рассмотрения.
Суточная аберрация мала, и даже угол годичной аберрации очень мал; наибольшая его величина — при том условии, что движение Земли перпендикулярно направлению луча, — составляет всего около 20,5 секунды. Звезда, находящаяся в полюсе эклиптики и лучи которой перпендикулярны плоскости земной орбиты (практически, эклиптики) в системе отсчёта Солнца, будет в течение всего года наблюдаться отстоящей от своего «истинного» положения на 20,5 секунды, то есть описывать окружность диаметром 41 секунда. Этот кажущийся путь для прочих звёзд уже будет представлять не окружность, а эллипс. Большая полуось этого эллипса равна 20″,5, а малая полуось равна 20″,5sinβ, здесь β — эклиптическая широта наблюдаемого небесного светила[5]. Если звезда находится на самой эклиптике, то её годовое движение, вследствие световой аберрации, представится видимым отрезком прямой линии, являющимся дугой эклиптики на небесной сфере, и по этому отрезку звезда идёт то в одну сторону, то в другую. Аберрация наблюдается не только для звёзд, но и объектов Солнечной системы.

Аберрационная постоянная[править | править код]

Аберрационная постоянная характеризует геометрические размеры эллипса, который описывает звезда на небесной сфере в течение года.

Определение аберрационной постоянной непосредственно из наблюдений сопряжено с систематическими трудностями. На международном совещании по астрономическим постоянным в Париже в 1950 г. было принято решение об исключении аберрационной постоянной из числа фундаментальных астрономических постоянных, определяемых непосредственно из наблюдений. В дальнейшем выводить её значение предполагается из параллакса Солнца[6].
Начиная с 1960 г. с развитием Радиолокационной астрономии астрономическую аберрацию стали вычислять гораздо точнее при радиолокации планет[7].

Значение постоянной аберрации принята Международным Астрономическим Союзом (на 2000 г.) k = 20,49552″.

Аберрация света была открыта в 1727 г. английским астрономом Брэдли, который, намереваясь определить параллаксы некоторых неподвижных звёзд, заметил их перемещение. Брэдли объяснял явление аберрации как результат сложения скорости света и скорости наблюдателя[8]. Бредли предполагал величину аберрации равной tgα=vc{\displaystyle \mathrm {tg} \,\alpha ={\frac {v}{c}}}, где v орбитальная скорость Земли, с скорость света, а α — угол между реальным и кажущимся положением звезды. Открытие аберрации вместе с тем послужило новым подтверждением орбитального движения Земли и справедливости вычисления датского астронома Ремера относительно скорости света.

Теорию световой аберрации разрабатывали Бессель и др., например Эдуард Кеттелер[9], немецкий физик, известный как разработчик теории «упругого светового эфира».

Объяснения аберрации в рамках эфирных теорий[править | править код]

Т. Юнг в 1804 году дал первое волновое объяснение аберрации как результат действия «эфирного ветра», дующего с равной по величине и обратной по направлению движения наблюдателя скоростью.
В 1868 г. Хук поставил опыт, в котором наблюдал земной источник света в телескоп через двухметровый столб воды. Отсутствие предполагаемого сдвига изображения, обусловленного суточным вращением Земли, Хук объяснил на основе теории Френеля. Он пришёл к выводу, что френелевский коэффициент увлечения справедлив с точностью до 2 %. В свою очередь Клинкерфус поставил аналогичный опыт с 8-дюймовым столбом воды и получил увеличение постоянной аберрации на 7,1″ (по его теории ожидалось увеличение на 8″). Для разрешения этого противоречия серию точных опытов провёл в 1871—1872 гг. Эйри. Рискуя испортить большой гринвичский телескоп, наполнил его водой и повторил опыт Брэдли по наблюдению звезды γ Дракона. Он наблюдал звезду вблизи зенита с помощью вертикально установленного телескопа высотой 35,3 дюйма, заполненного водой. По теории Клинкерфуса за полгода угловое смещение звезды должно было составить около 30″, в то время как на опыте смещение не превышало 1″ и лежало в пределах ошибок эксперимента[10]. Из опыта Эйри следовало, что орбитальное движение Земли полностью увлекает светоносную среду.

Создание теории относительности[править | править код]

В 1905 году А. Эйнштейн в первой своей работе «К электродинамике движущихся сред» вывел релятивистскую формулу аберрации.

Возьмём наблюдателя, движущегося со скоростью v{\displaystyle v} относительно бесконечно удалённого источника света. Пусть ϕ{\displaystyle \phi } — угол между линией, соединяющей источник света с наблюдателем, и скоростью наблюдателя, отнесённой к координатной системе (покоящейся относительно источника света). Теперь если обозначить через ϕ′{\displaystyle \phi ‘} угол между нормалью к фронту волны (направлением луча) и линией, соединяющей источник света с наблюдателем, то формула имеет вид

cos⁡ϕ′=cos⁡ϕ−vc1−vccos⁡ϕ{\displaystyle \cos \phi ‘={\frac {\cos \phi -{\frac {v}{c}}}{1-{\frac {v}{c}}\cos \phi }}}

Для случая ϕ=π2{\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}} она принимает простой вид[11]

cos⁡ϕ′=−vc,{\displaystyle \cos \phi ‘=-{\frac {v}{c}},}

  1. 1 2 3 «Физическая энциклопедия», c.10, гл. ред. А. М. Прохоров. T.1 (1988) ISBN 5-85270-034-7
  2. ↑ В. Е. Жаров «Сферическая астрономия» М. (2002)
  3. Киттель Ч., Наит У., Рудерман М. Берклеевский курс физики. — М.: Наука. — Т. I. Механика.
  4. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
  5. Бакулин П.И., Кононович Э.В., Мороз В.И. Курс общей астрономии. — 5-е изд. — М.: Наука, 1983. — С. 126.
  6. ↑ Б. Н. Гиммельфарб «К объяснению аберрации звёзд в теории относительности»
  7. Астрометрия — статья из Большой советской энциклопедии. 
  8. ↑ Квант. № 4. 1995 г. Звездная аберрация и теория относительности
  9. Ketteler, Eduard von. Astronomische Undulationstheorie, oder, Die Lehre von der Aberration des Lichtes. Bonn: P. Neusser, 1873
  10. ↑ У. И. Франкфурт. Оптика движущихся сред и специальная теория относительности. Эйнштейновский сборник 1977. — Москва, Наука, 1980
  11. ↑ А. Эйнштейн «К электродинамике движущихся тел»

Оставьте комментарий

Ваш адрес email не будет опубликован. Обязательные поля помечены *